Q. sgt nt [tex] \\ [/tex][tex] \tt \: nilai \: dari \: \lim_{x \to \infty} \: \frac{2( {x}^{3} \:

May 2022 1 10 Report

Q. sgt nt
[tex] \\ [/tex]
[tex] \tt \: nilai \: dari \: \lim_{x \to \infty} \: \frac{2( {x}^{3} \: - \: 2x)(4x \: + \: 7)}{(2 {x}^{3} \: - \: 2x)( {x}^{2} \: + \: 1) } \: adalah...[/tex]
[tex] \\ [/tex]
[tex] \tt \: a. \: 2[/tex]
[tex] \\ [/tex]
[tex] \tt \:b . \: 1[/tex]
[tex] \\ [/tex]
[tex] \tt \: c. \: 0[/tex]
[tex] \\ [/tex]
[tex] \tt \: d. \: \frac{1}{2} [/tex]
[tex] \\ [/tex]
[tex] \tt \: e. \: - 1[/tex]
[tex] \\ [/tex]
Rules sprti bysa.

henriyulianto

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\:\frac{2\left(x^3-2x\right)(4x+7)}{\left(2x^3-2x\right)\left(x^2+1\right)}\:=\:\bf0$

(opsi c)

Pembahasan

Limit

Kita akan menentukan nilai dari:

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\:\frac{2\left(x^3-2x\right)(4x+7)}{\left(2x^3-2x\right)\left(x^2+1\right)}$

Untuk nilai limit seperti ini, cara singkatnya adalah dengan memperhatikan derajat (pangkat terbesar) variabel x pada pembilang dan penyebut.

Jika derajat pembilang kurang dari derajat penyebut, maka nilai limit mendekati tak hingga adalah 0.
Jika derajat pembilang sama dengan derajat penyebut, maka nilai limit mendekati tak hingga adalah hasil bagi dari koefisien x dengan pangkat terbesar pada pembilang dan penyebut.
Jika derajat pembilang lebih dari derajat penyebut, maka nilai limit mendekati tak hingga adalah ∞.

Pada nilai limit yang dievaluasi,

derajat pembilang = 3 + 1 = 4, dan
derajat penyebut = 3 + 2 = 5,

sehingga derajat pembilang < derajat penyebut.

Oleh karena itu:

$\therefore\ \displaystyle\lim_{x\to\infty}\:\frac{2\left(x^3-2x\right)(4x+7)}{\left(2x^3-2x\right)\left(x^2+1\right)}\:=\:\bf0$

Cara singkat tersebut dapat dijelaskan dengan penyelesaian di bawah ini.

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\:\frac{2\left(x^3-2x\right)(4x+7)}{\left(2x^3-2x\right)\left(x^2+1\right)}$

$\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\:\frac{\cancel{2}\left(x^3-2x\right)(4x+7)}{\cancel{2}\left(x^3-x\right)\left(x^2+1\right)}$

$\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\:\frac{\left(x^3-2x\right)(4x+7)}{\left(x^3-x\right)\left(x^2+1\right)}$

$\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\:\frac{\cancel{x^3}\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)\cancel{x}\left(4+\dfrac{7}{x}\right)}{\cancel{x^3}\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)x^{\cancel{2}}\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}$

$\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\:\frac{\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)\left(4+\dfrac{7}{x}\right)}{x\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}$

... dengan pengecualian pada bentuk tak tentu

$\displaystyle=\frac{\lim\limits_{x\to\infty}\:\left[\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)\left(4+\dfrac{7}{x}\right)\right]}{\lim\limits_{x\to\infty}\:\left[x\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)\right]}$

... dengan pengecualian pada bentuk tak tentu

$\displaystyle=\frac{\lim\limits_{x\to\infty}\:\left(1-\dfrac{2}{x^2}\right)\cdot\lim\limits_{x\to\infty}\:\left(4+\dfrac{7}{x}\right)}{\lim\limits_{x\to\infty}\:x\cdot\lim\limits_{x\to\infty}\:\left(1-\dfrac{1}{x^2}\right)\cdot\lim\limits_{x\to\infty}\:\left(1+\dfrac{1}{x^2}\right)}$