Tentukan Integral tak tentu dari K.
[tex]\displaystyle \rm \large \boxed{ \color{pink}{\sf \huge ( - \sin a \: \csc a + ( \frac{1}{ { \sin }^{2}a })) \div { \csc }^{2} a= {k}^{2} }} [/tex]
#ribet,kan?
[tex]\displaystyle \rm \large \boxed{ \color{pink}{\sf \huge ( - \sin a \: \csc a + ( \frac{1}{ { \sin }^{2}a })) \div { \csc }^{2} a= {k}^{2} }} [/tex]
#ribet,kan?
Verified answer
Nilai integral tak tentu dari k adalah [tex] \displaystyle \rm \sin a +C [/tex] dan [tex] \displaystyle \rm - \sin a +C [/tex]
PEMBAHASAN
Diketahui persamaan k² pada soal tersebut adalah..
[tex] \rm \bigg( - \sin a ~ \csc a + \dfrac{ 1 }{ \sin^2 a} \bigg) \div \csc^2 a = k^2 [/tex]
Sebelum menentukan integral tak tentu dari k, kita akan menyederhanakan bentuk ruas kiri terlebih dahulu. Dengan menggunakan sifat trigonometri [tex] \rm \csc a = \dfrac{ 1 }{ \sin a} [/tex] menjadi..
[tex] \rm \bigg( - \sin a ~ \dfrac{ 1 }{ \sin a } + \dfrac{ 1 }{ \sin^2 a} \bigg) \div \csc^2 a = k^2 [/tex]
[tex] \rm \bigg( - \sin a ~ \dfrac{ 1 }{ \sin a } + \dfrac{ 1 }{ \sin^2 a} \bigg) \div \dfrac{ 1 }{ \sin^2 a } = k^2 [/tex]
Sederhana bentuk pembagiannya..
[tex] \rm \bigg( - \cancel{\sin a} ~ \dfrac{ 1 }{\cancel{ \sin a} } + \dfrac{ 1 }{ \sin^2 a} \bigg) \div \dfrac{ 1 }{ \sin^2 a } = k^2 [/tex]
[tex] \rm \bigg( - 1 + \dfrac{ 1 }{ \sin^2 a} \bigg) \div \dfrac{ 1 }{ \sin^2 a } = k^2 [/tex]
Gunakan penyebut yang sama lalu gabungkan..
[tex] \rm \bigg( \dfrac{ -\sin^2 a + 1 }{ \sin^2 a } \bigg) \div \dfrac{ 1 }{ \sin^2 a } = k^2 [/tex]
[tex] \rm \bigg( \dfrac{1 -\sin^2 a }{ \sin^2 a } \bigg) \div \dfrac{ 1 }{ \sin^2 a } = k^2 [/tex]
[tex] \rm \dfrac{1 -\sin^2 a }{ \sin^2 a } \div \dfrac{ 1 }{ \sin^2 a } = k^2 [/tex]
Sesuai dengan sifat operasi pembagian pecahan, maka tanda menjadi perkalian sedangkan penyebut dan pembilang bertukar posisi..
[tex] \rm \dfrac{1 -\sin^2 a }{ \sin^2 a } \times \dfrac{ \sin^2 a }{ 1 } = k^2 [/tex]
[tex] \rm \dfrac{1 -\sin^2 a }{ \sin^2 a } \times \sin^2 a = k^2 [/tex]
Gunakan kembali sifat trigonometri [tex] \rm 1-\sin^2 a=\cos^2 a [/tex]..
[tex] \rm \dfrac{\cos^2 a }{ \cancel{\sin^2 a} } \times \cancel{\sin^2 a }= k^2 [/tex]
[tex] \rm \cos^2 a = k^2 [/tex]
Lalu, agar menemukan nilai k kedua ruas diakarkan menjadi..
[tex] \rm \sqrt{ \cos^2 a} = \sqrt{ k^2 } [/tex]
[tex] \rm \pm \sqrt{ \cos^2 a} = k [/tex]
[tex] \rm \pm \cos a = k [/tex]
Didapatkan 2 nilai k yaitu [tex] \rm k_1 = \cos a [/tex] dan [tex] \rm k_2 = - \cos a [/tex]
Kembali pada soal yaitu menentukan integral tak tentuk dari k yang telah diketahui..
Untuk [tex] \rm k_1 = \cos a [/tex] maka..
[tex] \displaystyle \rm = \int \cos a ~ da [/tex]
[tex] \displaystyle \rm = \sin a +C [/tex]
Untuk [tex] \rm k_2 = - \cos a [/tex] maka..
[tex] \displaystyle \rm = \int -\cos a ~ da [/tex]
[tex] \displaystyle \rm = - \int \cos a ~ da [/tex]
[tex] \displaystyle \rm = - \sin a +C [/tex]
Untuk setiap C adalah konstanta.
Kesimpulan :
Jadi, nilai integral tak tentu dari k adalah [tex] \displaystyle \rm \sin a +C [/tex] dan [tex] \displaystyle \rm - \sin a +C [/tex]
PELAJARI LEBIH LANJUT
Materi lainnya tentang integral:
DETAIL JAWABAN
Kelas: XI
Mapel: Matematika
Bab: Integral tak tentu fungsi aljabar
Kode: 11.2.10