Quizz [50+] Edisi SaintekDiketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 3 cm. Jika titik O terleta.... Question from @InWorldSystema

May 2022 1 34 Report

Quizz [50+] Edisi Saintek

Diketahui kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 3 cm. Jika titik O terletak di tengah diagonal FH dan titik S berada di ruas garis AE sedemikian sehingga AS : ES = 1 : 2, jarak titik E ke bidang FHS adalah … cm.

A. [tex]\tt 2[/tex]
B. [tex]\tt \: \frac{3}{2} \sqrt{2}[/tex]
C. [tex]\tt \: \sqrt{ \frac{17}{2} }[/tex]
D. [tex]\tt \: \sqrt{17}[/tex]
E. [tex]\tt \frac{6}{17} \sqrt{17}[/tex]

Note : Selamat Mengerjakan!

Note : Yeyyy Masuk Papan Soal Menantang :D

henriyulianto

Jarak titik E ke bidang FHS adalah $\bf\frac{6}{17}\sqrt{17}\:\ cm$ .

(opsi E)

Pembahasan

Diketahui:

Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 3 cm.
Titik O terletak di tengah diagonal FH.
Titik S berada di ruas garis AE sedemikian sehingga AS : ES = 1 : 2.

Ditanyakan:

Jarak titik E ke bidang FHS

PENYELESAIAN

Jarak titik E ke bidang FHS adalah sama dengan tinggi segitiga siku-siku EOS. Oleh karena itu, salah satu cara untuk menentukan jarak tersebut adalah dengan terlebih dahulu mencari panjang ES, panjang EO, dan (mungkin) panjang OS.

Karena AS : ES = 1 : 2, dengan panjang rusuk kubus $s$ satuan, panjang ES adalah:

$\begin{aligned}|ES|&=\frac{2}{2+1}\cdot |AE|\\\therefore\ |ES|&=\frac{2s}{3}\end{aligned}$

Sedangkan panjang EO adalah setengah kalinya panjang diagonal EG. Perbandingan panjang diagonal persegi dan panjang sisinya adalah √2 : 1, sehingga:

$\begin{aligned}\therefore\ |EO|&=\frac{s\sqrt{2}}{2}\end{aligned}$

Sementara panjang OS dapat ditentukan dengan teorema Pythagoras. Kita dapat menggunakan luas ΔEOS yang sama pada dua kasus, yaitu:

jika alas dan tingginya adalah EO dan ES, dan
jika alasnya adalah OS dan tingginya adalah jarak dari titik E ke bidang FHS atau ke garis OS, anggaplah garis tinggi ini EP.

Kesamaan tersebut dinyatakan dengan:

$\displaystyle\cancel{\frac{1}{2}}\cdot|EO|\cdot|ES|\ =\ \cancel{\frac{1}{2}}\cdot|OS|\cdot|EP|$

Sehingga, panjang EP dapat dihitung sebagai berikut.

$\begin{aligned}{\Rightarrow\ }|EP|&=\frac{|EO|\cdot|ES|}{|OS|}\\&=\frac{|EO|\cdot|ES|}{\sqrt{|EO|^2+|ES|^2}}\\&=\frac{\dfrac{s\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{2s}{3}}{\sqrt{\left(\dfrac{s\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{2s}{3}\right)^2}}\end{aligned}$

$\begin{aligned}{\Rightarrow\ }|EP|&=\frac{\dfrac{s^2\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{\dfrac{2s^2}{4}+\dfrac{4s^2}{9}}}\ =\ \frac{\dfrac{s^2\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{\dfrac{18s^2+16s^2}{36}}}\\&=\frac{\dfrac{s^2\sqrt{2}}{3}}{\sqrt{\dfrac{34s^2}{36}}}\ =\ \frac{\dfrac{s^2\sqrt{2}}{3}}{\dfrac{s}{6}\sqrt{34}}\\&=\frac{1/3}{1/6}\cdot\frac{s\cancel{\sqrt{2}}}{\cancel{\sqrt{2}}\sqrt{17}}\ =\ \frac{2s}{\sqrt{17}}\\{\Rightarrow\ }|EP|&=\boxed{\ \frac{2s}{17}\sqrt{17}\ }\end{aligned}$