Question

3.109. Wykaż, że funkcja f opisana wzorem f(x) =
[tex] \frac{2}{x} [/tex]
nie jest rosnąca w zbiorze R \ {0}.​

Answer 1

Odpowiedź:

Aby zbadać monotoniczność funkcji f(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) w zbiorze R \ {2}, należy zbadać pochodną funkcji f(x) i określić jej znak na przedziale.

Pochodna funkcji f(x) wynosi:

f'(x) = ((x - 2) * 2x - (x^2 - 4) * 1) / (x - 2)^2 = (2x^2 - 4x - x^2 + 4) / (x - 2)^2 = (x^2 - 4x + 4) / (x - 2)^2

Należy teraz zbadać znak pochodnej na przedziale R \ {2}. Można to zrobić, korzystając z testów pochodnej:

dla x < 2, x^2 - 4x + 4 < 0, (x - 2)^2 > 0, zatem f'(x) < 0

dla x > 2, x^2 - 4x + 4 > 0, (x - 2)^2 > 0, zatem f'(x) > 0

Otrzymujemy zatem, że funkcja f(x) jest malejąca dla x < 2 i rosnąca dla x > 2.

W punkcie x = 2 mamy niewłaściwą wartość funkcji (funkcja nie jest określona dla x = 2), więc trzeba ją wykluczyć z analizy monotoniczności.

Zatem funkcja f(x) jest niemalejąca w zbiorze R \ {2}, ale nie jest rosnąca w tym zbiorze, gdyż dla x < 2 jest malejąca.

Szczegółowe wyjaśnienie: