Pokazać że dla dow. m ∈ N równanie
[tex] {x}^{m} - (1 + m)(1 - x) = 0[/tex]
ma w przedziale (0, 1) dokładnie jedno rozwiązanie.
[tex] {x}^{m} - (1 + m)(1 - x) = 0[/tex]
ma w przedziale (0, 1) dokładnie jedno rozwiązanie.
Verified answer
[tex]f(x)=x^m-(1+m)(1-x)[/tex]
[tex]f(0)=0^m-(1+m)(1-0)=0-(1+m)\cdot 1=-m-1 < 0\\f(1)=1^m-(1+m)(1-1)=1-(1+m)\cdot0=1 > 0[/tex]
Funckja [tex]f(x)[/tex] dla [tex]m\in\mathbb{N}[/tex] jest funkcją wielomianową, a więc jest funkcją ciągłą.
Zatem na mocy twierdzenia Darboux, na przedziale [tex](0,1)[/tex] istnieje co najmniej jedno rozwiązanie.
[tex]f'(x)=mx^{m-1}-(0\cdot(1-x)+(1+m)\cdot(-1))=mx^{m-1}-(-1-m)=mx^{m-1}+m+1[/tex]
Dla [tex]x\in(0,1)[/tex] i [tex]m\in\mathbb{N}[/tex] zachodzi [tex]f'(x) > 0[/tex] z czego wynika, że funkcja [tex]f(x)[/tex] jest na tym przedziale rosnąca.
Skoro funkcja [tex]f(x)[/tex] na przedziale [tex](0,1)[/tex] jest rosnąca i równanie [tex]f(x)=0[/tex] ma na tym przedziale rozwiązanie, to musi być to jego jedyne rozwiązanie.