Question

MATEMATYKA Z PLUSEM 2 STR 18 ZAD 1, ZAD 2, ZAD 3
ZAD 1 wyłącz wspólny czynnik przed nawias
b) x⁴-x³+x²
c) 4x⁷+8x⁶
e) -9x⁶+18x⁴-12x³
ZAD 2 przedstaw w postaci iloczynu obu wielomianów
b) 6x³-5x²+6x-5
d) 2x³+5x²-2x-5
e) 3x⁴-4x³-3x+4
ZAD 3 rozłóż wielomian na czynniki
c) 2x³-3x²+4x-6
d) -15x³+6x²-5x+2
f) (na dole działanie)
[tex] \sqrt{2} {x}^{3} - \sqrt{3} {x}^{2} + 5 \sqrt{2}x - 5 \sqrt{3} [/tex]
Licze na naj​

Answer 1

[tex]\textbf{1.}\ \\\\\textbf{b)}\ x^4-x^3+x^2=x^2(x^2-x+1)\\\\\textbf{c)}\ 4x^7+8x^6=4x^6(x+2)\\\\\textbf{e)}\ -9x^6+18x^4-12x^3=-3x^3(3x^3-6x+4)[/tex]

[tex]\textbf{2.}\ \\\\\textbf{b)}\ 6x^3-5x^2+6x-5=(x^2+1)(6x-5)\\\\\textbf{d)}\ 2x^3+5x^2-2x-5=(x-1)(x+1)(2x+5)\\\\\textbf{e)}\ 3x^4-4x^3-3x+4=(x-1)(3x-4)(x^2+x+1)[/tex]

[tex]\textbf{3.}\ \\\\\textbf{c)}\ 2x^3-3x^2+4x-6=(2x-3)(x^2+2)\\ \\\textbf{d)}\ -15x^3+6x^2-5x+2=(-5x+2)(3x^2+1)\\\\\textbf{f)}\ \sqrt{2}x^3-\sqrt{3}x^2+5\sqrt{2}x-5\sqrt{3}=(\sqrt{2}x-\sqrt{3})(x^2+5)[/tex]

Wielomiany - rozkład na czynniki

Rozkład wielomianu na czynniki polega na przedstawieniu go w postaci iloczynu wielomianów możliwie najniższego stopnia.

Podczas rozkładu na czynniki możemy wykorzystać wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias i grupowanie wyrazów.

Grupowanie wyrazów polega na dobraniu w pary tych wyrazów, które mają jakąś cechę wspólną (np. [tex]2x[/tex] i [tex]4x^2[/tex] dzielą się przez [tex]2x[/tex]) i wyłączeniu jej przed nawias. Dokładne przedstawienie tej metody zostało pokazane w szczegółowym rozwiązaniu.

Szczegółowe rozwiązanie:

[tex]\textbf{1.}\ \\\\\textbf{b)}\ x^4-x^3+x^2=x^2(x^2-x+1)\\\\\textbf{c)}\ 4x^7+8x^6=4x^6(x+2)\\\\\textbf{e)}\ -9x^6+18x^4-12x^3=-3x^3(3x^3-6x+4)[/tex]

Szukamy we wszystkich wyrazach największego wspólnego czynnika (największej liczby, która dzieli wszystkie elementy oraz największej potęgi, która pojawia się we wszystkich wyrazach)

[tex]\textbf{2.}\ \\\\\textbf{b)}\ 6x^3-5x^2+6x-5=x^2(6x-5)+(6x-5)=(x^2+1)(6x-5)\\\\x^2+1=0\\\\x^2=-1\ \implies sprz. \\\textbf{d)}\ 2x^3+5x^2-2x-5=x^2(2x+5)-(2x+5)=(x^2-1)(2x+5)=\\\\(x-1)(x+1)(2x+5)\\\\Uwaga:\ a^2-b^2=(a-b)(a+b)\ \implies x^2-1=x^2-1^2=(x-1)(x+1)\\\\\textbf{e)}\ 3x^4-4x^3-3x+4=x^3(3x-4)-(3x-4)=(x^3-1)(3x-4)=\\\\(x-1)(x^2+x+1)(3x-4)\\\\Uwaga:\ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\implies x^3-1^3=(x-1)(x^2+x+1)[/tex]

W tym zadaniu grupujemy wyrazy. Jeśli po wykonaniu tych czynności otrzymujemy wielomian 2-go stopnia, to musimy go także rozłożyć na czynniki (jeśli to możliwe). Możemy skorzystać ze wzorów skróconego mnożenia.

[tex]\textbf{3.}\ \\\\\textbf{c)}\ 2x^3-3x^2+4x-6=2x(x^2+2)-3(x^2+2)=(2x-3)(x^2+2)\\ \\x^2+2=0\\\\x^2=-2\implies sprz. \\\\\textbf{d)}\ -15x^3+6x^2-5x+2=-5x(3x^2+1)+2(3x^2+1)=(-5x+2)(3x^2+1)\\\\3x^2+1=0\\\\3x^2=-1\implies sprz.\\\\\textbf{f)}\ \sqrt{2}x^3-\sqrt{3}x^2+5\sqrt{2}x-5\sqrt{3}=\sqrt{2}x(x^2+5)-\sqrt{3}(x^2+5)=(\sqrt{2}x-\sqrt{3})(x^2+5)\\\\x^2+5=0\\\\x^2=-5 \implies sprz.[/tex]

Ponownie grupujemy wyrazy. We wszystkich podpunktach otrzymaliśmy wielomian 2-go stopnia, którego nie możemy rozłożyć na czynniki, ponieważ nie ma miejsc zerowych.

#SPJ1