Question

Kuis
Slmt thn baru (iv)

Garis p dan garis q menyinggung
f(x) = 2sin²(x) + cos²(x) pada interval
0 ≤ x ≤ π. Masing-masing garis tersebut
tegak lurus terhadap garis y = 2x

Sehingga jarak antara garis p dan
garis q sepanjang
[tex]\large\boxed{\frac{b\sqrt{ab}-\pi\sqrt{a}}{ab}~~satuan}[/tex]

Jika
a² - b² = c²

Maka
c = {...., ....}

Answer 1

c ∈ {–4, 4}
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Garis [tex]p[/tex] dan garis [tex]q[/tex] menyinggung f(x) = 2sin²(x) + cos²(x) pada interval 0 ≤ x ≤ π. Masing-masing garis tersebut tegak lurus terhadap garis y = 2x.

Maka, gradien masing-masing garis tersebut adalah:
m = –½
sehingga turunan pertama f(x) memenuhi:
f'(x) = m
⇒ (2sin²(x) + cos²(x))' = –½
⇒ (1 + sin²(x))' = –½
⇒ 2sin(x)·(sin(x))’ = –½
⇒ 2sin(x)·cos(x) = –½
⇒ sin(2x) = –½
⇒ 2x = {7π/6, 11π/6} + 2πn
⇒ x = {7π/12, 11π/12} + πn
⇒ x ∈ {7π/12, 11π/12) pada interval 0 ≤ x ≤ π.

• Pada saat x = 7π/12:
  y = 2sin²(x) + cos²(x)
  = 1 + sin²(x)
  = 1 + ½(1 – cos(2x))
  = 1½ – ½cos(2x)
  = 3/2 – ½cos(7π/6)
  = 3/2 – ½·(–½√3)
  = 3/2 + ¼√3
  = ¼(6 + √3)
• Pada saat x = 11π/12:
  y = 1½ – ½cos(2x)
  = 3/2 – ½cos(11π/6)
  = 3/2 – ½·(½√3)
  = 3/2 – ¼√3
  = ¼(6 – √3)

Maka, untuk garis singgung [tex]p[/tex] pada saat x = 7π/12:
y = –½x + c₁
⇒ ¼(6 + √3) = –½(7π/12) + c₁
⇒ ¼(6 + √3) = –¼(7π/6) + c₁
⇒ c₁ = ¼(7π/6 + 6 + √3)

Kemudian, untuk garis singgung [tex]q[/tex] pada saat x = 11π/12:
y = –½x + c₂
⇒ ¼(6 – √3) = –½(11π/12) + c₂
⇒ ¼(6 – √3) = –¼(11π/6) + c₂
⇒ c₂ = ¼(11π/6 + 6 – √3)

Jarak antara garis singgung [tex]p[/tex] dan [tex]q[/tex] sama dengan panjang proyeksi vektor [tex]\vec{u}[/tex] = (0, Δc) pada vektor yang mewakili garis y = 2x, yaitu vektor [tex]\vec{v}[/tex] = (1, 2).

Δc = ¼·(7π/6 + 6 + √3) – ¼(11π/6 + 6 – √3)|
⇒ Δc = ¼(–4π/6 + 2√3)
⇒ Δc = –π/6 + ½√3
⇒ Vektor [tex]\vec{u}[/tex] = (0,  (–π/6 + ½√3))

Panjang proyeksi vektor [tex]\vec{u}[/tex] pada [tex]\vec{v}[/tex] yang juga merupakan jarak antara kedua garis singgung tersebut dapat dinyatakan dengan [tex]d[/tex], yaitu:

[tex]\begin{aligned}d&=\left|\frac{\vec{u}\centerdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\right|\\&=\left|\frac{(0,\,-\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\sqrt{3})\centerdot(1,\,2)}{|(1,\,2)|}\right|\\&=\left|\frac{0\cdot1+2\left(-\frac{\pi}{6}+\frac{1}{2}\sqrt{3}\right)}{\sqrt{1^2+2^2}}\right|\\&=\left|\frac{-\frac{\pi}{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}}\right|\\&=\left|\frac{-\pi+3\sqrt{3}}{3\sqrt{5}}\right|\\&=\left|\frac{-\pi+3\sqrt{3}}{15}\sqrt{5}\right|\\&=\frac{3\sqrt{15}-\pi\sqrt{5}}{15}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}d&=\frac{3\sqrt{5\cdot3}-\pi\sqrt{5}}{5\cdot3}\\&=\frac{b\sqrt{ab}-\pi\sqrt{a}}{ab}\\\end{aligned}[/tex]

Jadi, dapat kita ambil a = 5 dan b = 3, sehingga:
a² – b² = c²
⇒ c = ±√(a² – b²)
⇒ c = ±√(5² – 3²)
⇒ c = ±4

∴ Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa:
c ∈ {–4, 4}
[tex]\blacksquare[/tex]