Question

QUIZZ

Tentukan nilai x dari
[tex]\huge \frac{ \sqrt{ \frac{20}{ {x}^{2} + 16} } }{5 - \frac{x}{2} \sqrt{ \frac{20}{ {x}^{2} + 16} } } = \frac{x}{8} [/tex]
jika x≠0

a) 3
b) 2
c) 4
d) bukan bilangan asli
e) saya tidak tau yang mulia
​

Answer 1

Verified answer

Nilai x yang memenuhi adalah x = 2. (opsi b)
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Diberikan persamaan:

[tex]\begin{aligned}\frac{\sqrt{\dfrac{20}{{x}^{2}+16}}}{\ 5-\dfrac{x}{2}\sqrt{\dfrac{20}{{x}^{2}+16}}\ }=\frac{x}{8}\end{aligned}[/tex]

dengan x ≠ 0.

Untuk mempermudah, pertama-tama ambil

[tex]\begin{aligned}&A=\sqrt{\dfrac{20}{{x}^{2}+16}}\ \Rightarrow\ A^2=\dfrac{20}{{x}^{2}+16}\end{aligned}[/tex]

Maka persamaan tersebut ekuivalen dengan

[tex]\begin{aligned}\frac{A}{\ 5-\dfrac{Ax}{2}\ }=\frac{x}{8}\end{aligned}[/tex]

Kali silang, dan lanjutkan.

[tex]\begin{aligned}&8A=5x-\frac{Ax^2}{2}\\&\Rightarrow 16A=10x-Ax^2\\&\Rightarrow Ax^2+16A=10x\\&\Rightarrow A\left(x^2+16\right)=10x\\&\Rightarrow A=\frac{10x}{x^2+16}\\&\Rightarrow A^2=\frac{100x^2}{\left(x^2+16\right)^2}\end{aligned}[/tex]

Substitusi kembali A².

[tex]\begin{aligned}&\frac{20}{{x}^{2}+16}=\frac{100x^2}{\left(x^2+16\right)^2}\\&\Rightarrow 20\left(x^2+16\right)^2=100x^2\left(x^{2}+16\right)\\&\Rightarrow \left(x^2+16\right)^2=5x^2\left(x^{2}+16\right)\end{aligned}[/tex]

Dari persamaan terakhir, kita tahu bahwa kedua ruas pasti positif untuk x ∈ ℝ.

Maka, bagi kedua ruas dengan (x² + 16).

[tex]\begin{aligned}&x^2+16=5x^2\\&\Rightarrow 4x^2=16\\&\Rightarrow x^2=4\\&\Rightarrow x=2\ \lor\ x=-2\end{aligned}[/tex]

Periksa solusi.

Untuk x = ±2, jelas bahwa A = 1.

[tex]\begin{aligned}x=2:\ &\frac{1}{\ 5-\dfrac{2}{2}\ }=\frac{1}{4}=\frac{2}{8}\\&\rightarrow \sf benar!\\x=-2:\ &\frac{1}{\ 5-\dfrac{-2}{2}\ }=\frac{1}{6}\ne\frac{-2}{8}\\&\rightarrow \sf salah!\\\end{aligned}[/tex]
Jelas bahwa hanya x = 2 yang memenuhi.

KESIMPULAN
∴ Nilai x yang memenuhi adalah x = 2.
[tex]\blacksquare[/tex]