[tex]G(x)=\sqrt{\cos^3x+3}[/tex] dapat dituliskan dalam bentuk fungsi komposit [tex](f\circ g\circ h\circ k)[/tex] dengan: [tex]\boxed{\,\begin{aligned}\bullet\ &f(x)=\sqrt{x}\\\bullet\ &g(x)=x^3+3\\\bullet\ &h(x)=\cos x\\\bullet\ &k(x)=x\end{aligned}\,}[/tex]
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Diketahui
[tex]G(x)=\sqrt{\cos^3x+3}[/tex]
Ditanyakan
[tex]G(x)[/tex] dalam bentuk fungsi komposit [tex](f\circ g\circ h\circ k)[/tex].
Verified answer
[tex]G(x)=\sqrt{\cos^3x+3}[/tex] dapat dituliskan dalam bentuk fungsi komposit [tex](f\circ g\circ h\circ k)[/tex] dengan:
[tex]\boxed{\,\begin{aligned}\bullet\ &f(x)=\sqrt{x}\\\bullet\ &g(x)=x^3+3\\\bullet\ &h(x)=\cos x\\\bullet\ &k(x)=x\end{aligned}\,}[/tex]
Penjelasan dengan langkah-langkah:
Diketahui
[tex]G(x)=\sqrt{\cos^3x+3}[/tex]
Ditanyakan
[tex]G(x)[/tex] dalam bentuk fungsi komposit [tex](f\circ g\circ h\circ k)[/tex].
Penyelesaian
[tex]\begin{aligned}&(f\circ g\circ h\circ k)(x)=G(x)\\&{\Rightarrow\ }f\left((g\circ h\circ k)(x)\right)=\!\!\!\underbrace{\sqrt{\cos^3x+3}}_{\begin{matrix}\sqrt{(g\circ h\circ k)(x)}\end{matrix}}\\&{\Rightarrow\ }\begin{cases}f(x)=\sqrt{x}\\(g\circ h\circ k)(x)=\cos^3x+3\end{cases}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&(g\circ h\circ k)(x)=\cos^3x+3\\&{\Rightarrow\ }g\left((h\circ k)(x)\right)=\!\!\!\!\!\underbrace{\left(\cos x\right)^3}_{\begin{matrix}\left((h\circ k)(x)\right)^3\end{matrix}}\!\!\!\!+\ 3\\&{\Rightarrow\ }\begin{cases}g(x)=x^3+3\\(h\circ k)(x)=\cos x\end{cases}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&(h\circ k)(x)=\cos x\\&{\Rightarrow\ }h\left(k(x)\right)=\cos(x)\\&{\Rightarrow\ }\begin{cases}h(x)=\cos x\\k(x)=x\end{cases}\end{aligned}[/tex]
Kita juga dapat menelusuri dengan cara berikut ini.
[tex]\begin{aligned}&\sqrt{\cos^3x+3}\\&\quad\;\Downarrow\\&\begin{array}{rccccccc}f=&\!\!\!{\sqrt(}&&&&&&\!\!\!\!)\\g=&&\!\!\!\!(&&&&\!\!\!\!\!\!)^3+3\\h=&&&\!\!\!\!\cos(&&\!\!\!\!\!)\\k=&&&&\!\!\!\!\!x\\\end{array}\end{aligned}[/tex]
Kemudian, bagian yang kosong di dalam kurung tinggal diisi dengan [tex]x[/tex].
Oleh karena itu, kita peroleh:
Penelusuran sebaliknya dari bentuk fungsi komposit (f\circ g\circ h\circ k) adalah sebagai berikut.
[tex]\begin{aligned}(f\circ g\circ h\circ k)(x)&=(f\circ g\circ h)\left(k(x)\right)\\&=(f\circ g\circ h)(x)\\&=(f\circ g)\left(h(x)\right)\\&=(f\circ g)\left(\cos x\right)\\&=f\left(g\left(\cos x\right)\right)\\&=f\left(\cos^3x+3\right)\\(f\circ g\circ h\circ k)(x)&=\sqrt{\cos^3x+3}\\\therefore\ (f\circ g\circ h\circ k)(x)&=G(x)\end{aligned}[/tex]
Atau:
[tex]\begin{aligned}(f\circ g\circ h\circ k)(x)&=f\left((g\circ h\circ k)(x)\right)\\&=\sqrt{(g\circ h\circ k)(x)}\\&=\sqrt{g\left((h\circ k)(x)\right)}\\&=\sqrt{\left((h\circ k)(x)\right)^3+3}\\&=\sqrt{\left(h\left(k(x)\right)\right)^3+3}\\&=\sqrt{\left(\cos\left(k(x)\right)\right)^3+3}\\&=\sqrt{(\cos x)^3+3}\\(f\circ g\circ h\circ k)(x)&=\sqrt{\cos^3x+3}\\\therefore\ (f\circ g\circ h\circ k)(x)&=G(x)\end{aligned}[/tex]
[tex]\blacksquare[/tex]