Question

Oblicz całkę podwójną [tex]\int\int\limits_D {(8x-3x^{2} )}\, dxdy[/tex];Gdzie D: y=x+5, y=-x+5, y=x-5, y=-x-5 Oryginalnie zapisane pytanie na zdjęciu.

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]$\iint\limits^{}_{D}(8x-3x^2) \ \text{d}x \text{d}y=-625[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]$\iint\limits^{}_{D}(8x-3x^2) \ \text{d}x \text{d}y[/tex]

Obszar regularny [tex]D[/tex] to kwadrat ograniczony przez podane proste. Dzielimy go na dwa obszary normalne względem osi [tex]OX[/tex] :

[tex]D_{1}=\{x,y \in \mathbb{R}^2: -x-5\leq y\leq x+5 \wedge -5\leq x\leq 0\}[/tex]

[tex]D_{2}=\{x,y \in \mathbb{R}^2: x-5\leq y\leq -x+5 \wedge 0\leq x\leq 5\}[/tex]

Zatem:

[tex]$\iint\limits^{}_{D}(8x-3x^2) \ \text{d}x \text{d}y=\iint\limits^{}_{D_{1}}(8x-3x^2) \ \text{d}x \text{d}y+\iint\limits^{}_{D_2}(8x-3x^2) \ \text{d}x \text{d}y=[/tex]

[tex]$=\int\limits^{0}_{-5}\Bigg(\int\limits^{x+5}_{-x-5}8x-3x^2 \ \text{d}y\Bigg) \text{d}x+\int\limits^{5}_{0}\Bigg(\int\limits^{-x+5}_{x-5}8x-3x^2 \ \text{d}y\Bigg) \text{d}x=[/tex]

[tex]$=\int\limits^{0}_{-5}(8x-3x^2)(x+5+x+5) \ \text{d}x+\int\limits^{5}_{0}(8x-3x^2)(-x+5-x+5) \ \text{d}x=[/tex]

[tex]$=2\int\limits^{0}_{-5}(8x-3x^2)(x+5) \ \text{d}x+2\int\limits^{5}_{0}(8x-3x^2)(5-x) \ \text{d}x=[/tex]

[tex]$=2\int\limits^{0}_{-5}-3x^3-7x^2+40x \ \text{d}x+2\int\limits^{5}_{0} 3x^3-23x^2+40x \ \text{d}x=[/tex]

[tex]$= 2 \cdot \Big(-\frac{3}{4}x^4-\frac{7}{3}x^3+20x^2\Big)\Bigg|^{0}_{-5}+2 \cdot \Big(\frac{3}{4}x^4-\frac{23}{3}x^3+20x^2\Big)\Bigg|^{0}_{-5}=[/tex]

[tex]$=-\frac{3875}{6}+\frac{125}{6}=-625[/tex]