dengan menggunakan konsep turunan,tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut[tex] \: \: [/tex].... Question from @AkupenggunaBr

AkupenggunaBr @AkupenggunaBr

May 2022 1 40 Report

dengan menggunakan konsep turunan,tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut

[tex] \: \: [/tex]

henriyulianto

$\begin{aligned}f'(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+{\dots}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\end{aligned}$

Pembahasan

Turunan

Kita akan menentukan turunan dari:

$\begin{aligned}f(x)=\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+{\dots}+\frac{x^n}{n!}\end{aligned}$

Fungsi di atas dapat pula dinyatakan oleh notasi sigma berikut:

$\begin{aligned}f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^k}{k!}=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{k!}\cdot x^k\right)\end{aligned}$

Konsep turunan yang kita gunakan adalah:

$\begin{aligned}&f(x)=ax^n\Rightarrow f'(x)=anx^{n-1} \end{aligned}$

dan

$\begin{aligned}&f(x)=g(x)\pm h(x)\pm{\dots}\\&\Rightarrow f'(x)=g'(x)\pm h'(x)\pm{\dots}\\\end{aligned}$

Perhatikan suku pertama $f(x)$ , yaitu $\dfrac{1}{0!}$ atau dengan melihat pola suku dapat pula dinyatakan oleh $\dfrac{x^0}{0!}$ . Jika diturunkan, maka akan menjadi konstanta 0. Untuk suku selanjutnya,

$\begin{aligned}\left(\frac{x}{1!}\right)'=\frac{x^0}{1!}=\frac{1}{1!}\end{aligned}$

Lalu:

$\begin{aligned}\left(\frac{x^2}{2!}\right)'=\frac{2x^1}{2!}=\frac{x}{1!}\end{aligned}$

Kemudian:

$\begin{aligned}\left(\frac{x^3}{3!}\right)'=\frac{3x^2}{3!}=\frac{x^2}{2!}\end{aligned}$

Dan seterusnya, hingga:

$\begin{aligned}\left(\frac{x^n}{n!}\right)'=\frac{nx^{n-1}}{n!}=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\end{aligned}$

Oleh karena itu,

$\begin{aligned}f'(x)&=\left(\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+{\dots}+\frac{x^n}{n!}\right)'\\&=\left(\frac{1}{0!}\right)'+\left(\frac{x}{1!}\right)'+\left(\frac{x^2}{2!}\right)'+{\dots}+\left(\frac{x^n}{n!}\right)'\\&=0+\frac{1}{1!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+{\dots}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\\&\quad\rightsquigarrow\ 1!=0!\\f'(x)&=\boxed{\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+{\dots}+\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}}\\\end{aligned}$