Mengunakan teorema apit, buktikan bahwa U = (cos 6n²/n²) konvergen, tentukan lim x[tex]u = ( \frac{c.... Question from @PatrickStar001

August 2022 1 6 Report

Mengunakan teorema apit, buktikan bahwa U = (cos 6n²/n²) konvergen, tentukan lim x

[tex]u = ( \frac{cos \: 6 {n}^{2} }{ {n}^{2} } )[/tex]

henriyulianto

Berdasarkan teorema apit, terbukti bahwa U=((cos 6n²)/n²) konvergen (ke 0), dengan:
$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\:=\:\bf0$
 

Pembahasan

Persoalan

Membuktikan kekonvergenan barisan U=((cos 6n²)/n²) dengan teorema apit (teorema squeeze).

Pembuktian

Suku pada barisan $U$ terdefinisi sebagai:
$\large\text{$\begin{aligned}U_n&=\frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\end{aligned}$}$

Kita tahu bahwa $\inf\left(\cos\left(6{n}^{2}\right)\right)=-1$ , dan $\sup\left(\cos\left(6{n}^{2}\right)\right)=1$ , sehingga untuk semua $n$ berlaku:
$\large\text{$\begin{aligned}-1 \le \cos\left(6{n}^{2}\right) \le 1\end{aligned}$}$

Oleh karena itu:

$\large\text{$\begin{aligned}&\frac{-1}{{n}^{2}}\ \le\ \frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\ \le\ \frac{1}{{n}^{2}}\\\Rightarrow\ &\lim_{n\to\infty}\frac{-1}{{n}^{2}}\ \le\ \lim_{n\to\infty}\frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\ \le\ \lim_{n\to\infty}\frac{1}{{n}^{2}}\\\Rightarrow\ &\boxed{\ 0\ \le\ \lim_{n\to\infty}\frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\ \le\ 0\ }\end{aligned}$}$

Maka, berdasarkan teorema apit untuk barisan, dapat disimpulkan bahwa:
$\large\text{$\begin{aligned}&\lim_{n\to\infty}\frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\ =\ \bf0\end{aligned}$}$

Jadi, terbukti bahwa $U=\left ( \dfrac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}} \right )$ KONVERGEN.

----------------------------------

Dengan aljabar limit, nilai limitnya pun sama, yaitu 0.

Dengan mengandaikan $U_n$ konvergen, maka:

$\begin{aligned}\lim_{n\to\infty}U_n&=\lim_{n\to\infty}\frac{\cos\left(6{n}^{2}\right)}{{n}^{2}}\\&=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n^2}\cdot\cos\left(6{n}^{2}\right)\right)\\&=\left(\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\right)\cdot\left(\lim_{n\to\infty}\cos\left(6{n}^{2}\right)\right)\\&=0\cdot\left(\lim_{n\to\infty}\cos\left(6{n}^{2}\right)\right)\\\therefore\ \lim_{n\to\infty}U_n&=\boxed{\:\bf0\:}\end{aligned}$
$\blacksquare$