POMOCY DO 12 !!!!!!!!!!!!!!!1 PLS
Szybę do okrągłego okna wycięto z kwadratowej tafli tak, aby było jak najmniej odpadów. Na tej szybie Zosia wykonała kolorowy rysunek w kształcie sześciokąta foremnego tak, że wierzchołki rysunku leżą na obrzeżach szyby. Oblicz pole szklanych odpadów, jeśli pole rysunku Zosi wynosi 23[tex]\sqrt{3}[/tex]dm2. Do obliczeń przyjmij, że π = 3.
Szybę do okrągłego okna wycięto z kwadratowej tafli tak, aby było jak najmniej odpadów. Na tej szybie Zosia wykonała kolorowy rysunek w kształcie sześciokąta foremnego tak, że wierzchołki rysunku leżą na obrzeżach szyby. Oblicz pole szklanych odpadów, jeśli pole rysunku Zosi wynosi 23[tex]\sqrt{3}[/tex]dm2. Do obliczeń przyjmij, że π = 3.
Legenda:
Rysunek pomocniczy w załączniku.
a - krawędź kwadratowej tafli
b - krawędź sześciokąta foremnego
r - promień okrągłej szyby
Rozwiązanie:
Sześciokąt foremny składa się z sześciu trójkątów równobocznych.
Jego pole wynosi:
[tex]P_s=6*\frac{b^2\sqrt3}4=\frac{3b^2\sqrt3}2\\P_s=23\sqrt3[/tex]
Wyznaczamy krawędź sześciokąta:
[tex]\frac{3b^2\sqrt3}2=23\sqrt3 /*2\\3b^2\sqrt3=46\sqrt3 /:3\sqrt3\\b^2=\frac{46}3\\b=\frac{\sqrt{46}}{\sqrt3}=\frac{\sqrt{138}}3[/tex]
Promień okrągłej szyby jest równy długości krawędzi sześciokąta.
[tex]r=b=\frac{\sqrt{138}}3[/tex]
Obliczamy pole okrągłej szyby.
[tex]P_o=\pi r^2\\P_o=\pi * (\frac{\sqrt{138}}3)^2=\frac{138}9\pi\approx\frac{138}9*3=\frac{138}3=46[j^2][/tex]
Krawędź kwadratowej tafli, z której wycięto okrągłą szybę jest równa średnicy okrągłej szyby (dwukrotności promienia)
[tex]a=2r\\a=2*\frac{\sqrt{138}}3=\frac{2\sqrt{138}}3[/tex]
Obliczamy pole kwadratowej tafli
[tex]P_k=a^2\\P_k=\left(\frac{2\sqrt{138}}3\right)^2=\frac{552}9=\frac{184}3=61\frac13[j^2][/tex]
Pole szklanych odpadów jest równe różnicy pola kwadratowej tafli i pola okrągłej szyby.
[tex]P_{odp}=P_k-P_o\\P_{odp}=61\frac13[j^2]-46[j^2]=\boxed{15\frac13[j^2]}[/tex]
Odp. Pole szklanych odpadów wynosi 15 ¹/₃ jednostki kwadratowe.