QUIZ! hitung banyak bilangan bulat positif yang membagi setidaknya 2 bilangan bulat dari himpunan [t.... Question from @e18ht1nFinity

ariamuhammad587

Jawaban:

Penjelasan dengan langkah-langkah:

1. Cek FPB dari 2 bilangan

Pertama kita lihat FPB dan Faktor persekutuan dari 2 dari 10 bilangan yang tersedia. Lihat gambar 1.

Bilangan dalam himpunan tersebut dapat ditulis seperti ini

{1, 2², 3³, 2⁸, 5⁵, 2⁶×3⁶, 7⁷, 2²⁴, 3¹⁸, 2¹⁰×5¹⁰}

Jadi himpunan FPB yang mungkin terjadi adalah {1, 2², 2⁶, 2⁸, 2¹⁰, 3³, 3⁶, 5⁵}.

2. F(n)

Misalkan F(n) merupakan himpunan dari semua faktor dari n. Ini contohnya:

F(15) = {1, 3, 5, 15}
F(19) = {1, 19}
F(25) = {1, 5, 25}

Bisa ditunjukkan bahwa

F(2^k) ∩ F(3^l) = {1}, F(3^l) ∩ F(5^m) = {1} dimana k, l, m ∈ ℤ
F(a^i) ⊂ F(a^j×b) dimana i < j dan a, b, i, j ∈ ℤ.

Menggunakan fakta ini, kita hanya peduli pada F(2¹⁰), F(3⁶) dan F(5⁵)

3. Cek FPB dari lebih dari 2 bilangan

Karena terdapat kalimat “... setidaknya 2 bilangan bulat dari himpunan ...”, maka kita juga harus cek FPB untuk 3, 4, 5, ..., 10 bilangan. Menggunakan FPB(a, b, c) = FPB(FPB(a, b), c) secara rekursif, kita dapat bahwa hasilnya adalah salah satu anggota dari

{1, 2², 2⁶, 2⁸, 3³} yang mana itu merupakan himpunan bagian dari {1, 2², 2⁶, 2⁸, 2¹⁰, 3³, 3⁶, 5⁵}. Jadi ini tidak penting.

4. Menghitung bilangan

Karena terdapat kalimat “hitung banyak bilangan bulat positif yang membagi setidaknya 2 bilangan bulat dari himpunan ...”, maka kita bisa menggabungkan semua himpunan faktor persekutuan yang ada dan hitung anggotanya.

n(F(2¹⁰) ∪ F(3⁶) ∪ F(5⁵))

= n({1, 2, 2², ..., 2¹⁰, 3, 3², ... 3⁶, 5, 5², ..., 5⁵})

= 1 + 10 + 6 + 5

= 22

Jadi terdapat 22 bilangan bulat positif yang membagi setidaknya 2 bilangan dari himpunan tersebut.

3 votes Thanks 6

henriyulianto penasaran saya karena berbeda hasilnya.
menurut saya, jawaban ini belum memperhitungkan bahwa:
→ 2^9 dan 2^10 habis membagi 8^8 dan 10^10.
→ 3^4, 3^5, dan 3^6 habis membagi 6^6 dan 9^9

ariamuhammad587 Oh iya (Tepok jidat)

ariamuhammad587 Aku minta jawabanku dihapus karena gak bisa diedit lagi

henriyulianto kalau saya set minta koreksi, apa masih bisa? tapi nanti kalau online pakai laptop.

ariamuhammad587 Gak bisa dikoreksi lagi

e18ht1nFinity udh bisa nih

ariamuhammad587 Bukan ℤ tapi ℕ

henriyulianto masih perlu dikoreksi lagi? btw nice table :D

ariamuhammad587 gak perlu

henriyulianto OK.

henriyulianto

$\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\:\bf22\:}\rm\ bilangan\end{aligned}$}$
 

Pembahasan

Teori Bilangan

Diketahui
Sebuah himpunan bilangan bulat positif:
$\left\{1^1,\:2^2,\:3^3,\:4^4,\:5^5,\:6^6,\:7^7,\:8^8,\:9^9,\:10^{10}\right\}$

Ditanyakan
Banyak bilangan bulat positif yang habis membagi setidaknya 2 bilangan bulat anggota himpunan tersebut

PENYELESAIAN

Himpunan di atas dapat juga dinyatakan dengan:
$\begin{aligned}\{m^m\mid1 \le m \le 10,\ m\in\mathbb{N}\}\end{aligned}$

Misalkan terdapat fungsi ${\rm KP}(n)$ yang menyatakan hasil kali faktor-faktor prima berbeda dari sebuah bilangan bulat positif $n$ , yang dinyatakan oleh:
$\begin{aligned}{\rm KP}(n)=\prod_{i=1}^{k}{P_i}^{(n)}\end{aligned}$
di mana ${P_i}^{(n)}$ menyatakan faktor prima ke- $i$ dari bilangan $n$ , dan $n$ memiliki $k$ faktor prima.

Jika $n \mid m^m$ , maka semua faktor prima dari $n$ pasti habis membagi $m$ , sehingga ${\rm KP}(n) \mid m$ .

Sebagai contoh: $24\mid6^6$ , karena $6^6=2^3\times3\times2^3\times3^5=24\times2^3\times3^5$ .
$\begin{aligned}&\Rightarrow {\rm KP}(24)=2\times3=6\\&\Rightarrow {\rm KP}(24)\mid6\end{aligned}$

Oleh karena itu, kita observasi pada himpunan $M=\left\{1,\:2,\:3,\:4,\:5,\:6,\:7,\:8,\:9,\:10\right\}$ , di mana ${\rm KP}(n) \mid m$ , $m\in M$ .

Pada himpunan $M$ , terdapat 5 bilangan komposit, yaitu 4, 6, 8, 9, dan 10.

Faktor prima dari 4 adalah 2.
Faktor prima dari 6 adalah 2 dan 3.
Faktor prima dari 8 adalah 2.
Faktor prima dari 9 adalah 3.
Faktor prima dari 10 adalah 2 dan 5.

Dengan demikian, jika $n$ adalah bilangan bulat positif yang habis membagi setidaknya dua anggota $\{m^m\mid1 \le m \le 10,\ m\in\mathbb{N}\}$ , maka ${\rm KP}(n) \in \{2, 3, 5\}$ , ditambah 1 kasus khusus untuk faktor 1.
________________

Kasus 1: ${\rm KP}(n)=2$
$\begin{aligned}&{\rm KP}(n)=2\\&{\implies}{\rm KP}(n)\mid m,\ m \in \{2,4,6,8,10\}\\\end{aligned}$
Terdapat 10 bilangan $n$ yang memenuhi, yaitu $2$ , $2^2$ , $2^3$ , $2^4$ , ..., $2^9$ , dan $2^{10}$ , karena baik $2^2$ , $4^4$ , $6^6$ , $8^8$ , maupun $10^{10}$ masing-masing memiliki faktor $2^k$ , dengan $k\in\left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\right\}\cup\{24\}$ . (dipecah dengan union agar lebih terlihat nilai $k$ yang memenuhi)
Perhatikan bahwa $8^8 = 2^{24}$ , dan pangkat terbesar yang kurang dari 24 adalah 10.
________________

Kasus 2: ${\rm KP}(n)=3$
$\begin{aligned}&{\rm KP}(n)=3\\&{\implies}{\rm KP}(n)\mid m,\ m \in \{3,6,9\}\\\end{aligned}$
Terdapat 6 bilangan $n$ yang memenuhi, yaitu $3$ , $3^2$ , $3^3$ , $3^3$ , $3^4$ , $3^5$ , dan $3^6$ , karena baik $3^3$ , $6^6$ , maupun $9^9$ masing-masing memiliki faktor $3^k$ , dengan $k\in\left\{1,2,3,4,5,6\right\}\cup\{18\}$ .
Perhatikan bahwa $9^9 = 3^{18}$ , dan pangkat terbesar yang kurang dari 18 adalah 6.
________________

Kasus 3: ${\rm KP}(n)=5$
$\begin{aligned}&{\rm KP}(n)=5\\&{\implies}{\rm KP}(n)\mid m,\ m \in \{5, 10\}\\\end{aligned}$
Terdapat 5 bilangan $n$ yang memenuhi, yaitu $5$ , $5^2$ , $5^3$ , $5^4$ , dan $5^5$ , karena baik $5^5$ maupun $10^{10}$ masing-masing memiliki faktor $5^k$ , dengan $k\in\left\{1,2,3,4,5\right\}\cup\{10\}$ .
 

KESIMPULAN

Dengan demikian, banyak bilangan bulat positif yang habis membagi setidaknya 2 bilangan bulat dari himpunan $\left\{1^1,\:2^2,\:3^3,\:4^4,\:5^5,\:6^6,\:7^7,\:8^8,\:9^9,\:10^{10}\right\}$ adalah:
$\large\text{$\begin{aligned}1 + 10 + 6 + 5 = \boxed{\:\bf22\:}\rm\ bilangan.\end{aligned}$}$

$\blacksquare$
 

6 votes Thanks 8

e18ht1nFinity betul!

henriyulianto ok kak. Terima kasih.

1. Cek FPB dari 2 bilangan

2. F(n)

3. Cek FPB dari lebih dari 2 bilangan

4. Menghitung bilangan

Pembahasan

Teori Bilangan

KESIMPULAN

Recommend Questions

Life Enjoy

Get in touch

Social