Quiz(63/100)[tex] \: [/tex][tex] \small \displaystyle \tt \frac{1}{ \sqrt{1} + \sqrt{2} } + \frac{1}.... Question from @Aikey

May 2022 1 13 Report

Quiz(63/100)
[tex] \: [/tex]
[tex] \small \displaystyle \tt \frac{1}{ \sqrt{1} + \sqrt{2} } + \frac{1}{ \sqrt{2} + \sqrt{3} } + \frac{1}{ \sqrt{3} + \sqrt{4} } + \cdots + \frac{1}{ \sqrt{48} + \sqrt{49} } [/tex]

diradiradira

Hasil dari $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{48}+\sqrt{49}}}$ adalah 6.

PEMBAHASAN

Deret Teleskopik adalah suatu deret bilangan dimana tiap suku pada deret tersebut saling menghilangkan satu sama lain. Karena saling menghilangkan maka jumlah dari deret ini dapat ditentukan dari suku pertama dan terakhir deret saja.

DIKETAHUI

$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{48}+\sqrt{49}}=}$

DITANYA

Tentukan hasilnya.

PENYELESAIAN

Kalikan setiap suku deret dengan akar sekawannya.

$\displaystyle{u_1=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{1}-\sqrt{2}}{1-2}=\sqrt{2}-1}$

$\displaystyle{u_2=\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}\times\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{2-3}=\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

$\displaystyle{u_3=\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}\times\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{4}}{3-4}=\sqrt{4}-\sqrt{3}}$

$\displaystyle{u_{48}=\frac{1}{\sqrt{48}+\sqrt{49}}\times\frac{\sqrt{48}-\sqrt{49}}{\sqrt{48}-\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{48}-\sqrt{49}}{48-49}=\sqrt{49}-\sqrt{48}}$

Perhatikan bahwa deret diatas saling menghabiskan (deret teleskopik). Misal :

$\displaystyle{A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{48}+\sqrt{49}}}$

$\displaystyle{A=(\cancel{\sqrt{2}}-\sqrt{1})+(\cancel{\sqrt{3}}-\cancel{\sqrt{2}})+(\cancel{\sqrt{4}}-\cancel{\sqrt{3}})+...+(\sqrt{49}-\cancel{\sqrt{48}})}$

$\displaystyle{A=\sqrt{49}-1}$

$\displaystyle{A=7-1}$

$A=6$

KESIMPULAN

Hasil dari $\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{48}+\sqrt{49}}}$ adalah 6.