Question

agar deret
[tex] \frac{x + 1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x |x + 1 | } + ...[/tex]
mempunyai jumlah maka batas batas nilai
[tex]x[/tex]
adalah....
a. x>0
b.x<1
c.0<x<1
d.x>2
e.x<0 atau x>2​

Answer 1

Jawaban:

d.x>2

Penjelasan:

Untuk menjumlahkan deret ini, kita perlu menentukan batas-batas nilai x agar deret tersebut konvergen.

Dari persamaan yang diberikan, kita dapat mencatat bahwa suku ke-n dari deret ini adalah:

an = (x^n + 1) / (x * (x+1))

Kita perlu memastikan bahwa suku-suku ini mendekati nol saat n menuju tak hingga agar deret tersebut konvergen.

Kita dapat menggunakan uji perbandingan untuk menentukan batas nilai x yang sesuai. Dengan uji perbandingan, kita membandingkan deret ini dengan deret harmonik.

Dalam hal ini, deret harmonik adalah deret yang memiliki suku-suku sebagai berikut:

bn = 1/n

Karena deret harmonik tidak konvergen, maka kita membandingkan deret aslinya dengan deret harmonik yang dikenal tidak konvergen. Kita mencari batas nilai x yang membuat perbandingan an/bn menuju nol saat n menuju tak hingga.

Mari kita hitung perbandingannya:

an/bn = [(x^n + 1) / (x * (x+1))] / (1/n)

= (n / x(x+1)) * [(x^n + 1) / n]

= (x^n + 1) / [x(x+1)]

Karena x>0 dan x+1>x, maka:

an/bn < 2 / x

Perbandingan ini menuju nol saat n menuju tak hingga jika x > 2.

Dengan demikian, jawaban yang benar adalah d. x > 2