Pada kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya a, titik P dan Q merupakan tengah-tengah rusuk AB dan BC.... Question from @anginanginkel

May 2022 1 56 Report

Pada kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya a, titik P dan Q merupakan tengah-tengah rusuk AB dan BC. Jarak titik D ke bidang PQG adalah ...
A. [tex]\frac{1}{3} a\sqrt{3}[/tex] B. a C. [tex]\frac{1}{2} a\sqrt{3}[/tex] D. [tex]\frac{1}{3} a\sqrt{3}[/tex] E. [tex]\frac{2}{3}a[/tex]

henriyulianto

Jarak titik D ke bidang PQG adalah a. (opsi B)

Pembahasan

Bangun Ruang, Teorema Pythagoras, dan Kesebangunan

Pada kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya a, titik P dan Q merupakan titik tengah rusuk AB dan BC. Kita akan mencari jarak dari titik D ke bidang PQG, yang dilambangkan dengan ${\bf d}_{D\to PQG}$ atau panjang garis DO pada gambar.

Bidang PQG adalah sebuah segitiga, yang merupakan “bagian” dari bidang PQGE. Jadi, jarak dari titik D ke bidang PQG sama saja dengan jarak dari titik D ke bidang PQGE.

Karena PQ // AC, dan AC adalah diagonal bidang ABCD, maka bidang PQG berada pada bidang yang sama dengan bidang PQGE. Oleh karena itu, jaraknya adalah panjang garis DO, yang merupakan sebagian dari garis DJ, di mana O adalah perpotongan garis DJ dengan bidang PQG, atau bidang PQGE. Proyeksi garis DJ ke bidang ABCD adalah diagonal DB.

Titik O juga merupakan perpotongan kedua diagonal bidang PQGE, yang merupakan sebuah trapesium sama kaki. Karena sama kaki, maka titik O berada tepat pada garis tinggi bidang PQGE, sehingga ΔOPQ “minimal” merupakan segitiga sama kaki (bisa saja sama sisi, kita belum/tidak menghitungnya). Garis tinggi ΔOPQ, yaitu OL (pada gambar), tegak lurus dengan DO.

Jadi, untuk menentukan jarak dari titik D ke bidang PQG, karena ΔDOL merupakan segitiga siku-siku, yang siku-siku di ∠DOL, kita membutuhkan panjang DL. Panjang OL mungkin tidak diperlukan.

Mari kita lanjutkan.

Garis PQ merupakan alas atau sisi miring atau sisi terpanjang dari segitiga siku-siku sama kaki PQB, dengan $|PB|$ = $|QB|$ = ½a.
Oleh karena itu:

$\displaystyle|PQ|=\frac{a\sqrt{2}}{2}\ \Rightarrow\ {|PQ|}^2=\frac{a^2}{2}$ .

Garis DL merupakan garis tinggi segitiga sama kaki PQD, dengan $|PD|$ = $|QD|$ . PD adalah sisi miring dari segitga siku-siku APD, dan QD adalah sisi miring segitiga siku-siku CQD. ΔAPD ≅ ΔCQD, karena $|AP|$ = $|CQ|$ = ½a, dan $|AD|$ = $|CD|$ = a. Oleh karena itu:

$\begin{aligned}DL^2&=PD^2-PL^2\\&=AD^2+AP^2-\left(\frac{1}{2}PQ\right)^2\\&=a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\cdot\frac{a^2}{2}\\&=a^2+\frac{a^2}{4}-\frac{a^2}{8}\\&=a^2+\frac{a^2}{8}\\DL^2&=\frac{9a^2}{8}\\\end{aligned}$

Untuk panjang OL, kita gunakan prinsip kesebangunan segitiga (bisa juga dengan aturan sinus), karena ΔDOL sebangun dengan ΔDBJ. DB adalah diagonal bidang ABCD, sehingga $|DB|=a\sqrt{2}\ \Rightarrow\ |DB|^2=2a^2$ . Sedangkan $|BJ|$ = $|AP|$ = $\dfrac{a}{2}\ \Rightarrow\ |BJ|^2=\dfrac{a^2}{4}$ .

Maka:

$\begin{aligned}&\frac{|DO|}{|DB|}=\frac{|DL|}{|DJ|}\ \ {\Rightarrow\ \ }\frac{|DO|^2}{|DB|^2}=\frac{|DL|^2}{|DJ|^2}\\&{\Rightarrow\ }|DO|^2=\frac{|DL|^2\cdot|DB|^2}{|DJ|^2}\\&{\qquad\qquad\:\!\!}=\frac{|DL|^2\cdot|DB|^2}{|DB|^2+|BJ|^2}\\&{\qquad\qquad\:\!\!}=\frac{\dfrac{9a^2}{8}\cdot2a^2}{2a^2+\dfrac{a^2}{4}}\\&{\qquad\qquad\:\!\!}=\frac{\ \cancel{\dfrac{9}{4}}a^4\ }{\cancel{\dfrac{9}{4}}a^2}\ =\ a^2\\&{\Rightarrow\ }{\bf d}_{D\to PQG}=|DO|=\sqrt{|DO|^2}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&{\therefore\ }\boxed{\ {\bf d}_{D\to PQG}=\ \bf a\ }\\&\quad\blacksquare\end{aligned}$

KESIMPULAN

∴ Jarak titik D ke bidang PQG adalah a.

2 votes Thanks 14

henriyulianto sama2.

henriyulianto sebenarnya ini konsep jawaban kedua. konsep jawaban pertama kemarin pas saya berkomentar di atas.

anginanginkel wah trus konsep pertamanya kenapa kak?

henriyulianto tadi pas mau jawab, terpikir utk membuat gambarnya agar lebih jelas. akhirnya bikin draft jawaban baru, karena sangat berbeda walau hasilnya sama

henriyulianto konsep pertama: segitiga DOG adalah segitiga siku-siku sama kaki, siku-siku di O, jadi panjang DO = panjang OG = panjang rusuk karena sisi terpanjangnya adalah diagonal DG = panjang rusuk kali akar 2

henriyulianto lebih singkat :D

anginanginkel wah kalau lebih singkat, kenapa pilih konsep kedua kak?

anginanginkel tapi gambarnya memang penting sih kak di dimensi tiga, jadi helpful banget buat mahaminnya
thanks banget kakk

henriyulianto saya bingung bagaimana menjelaskan konsep pertama. :D

anginanginkel ooo :D gapapa kak, yg bisa dijelasin aja kalo gitu