(+50) KuMat - Kuis Matematika (repost)Misalkan terdapat 100 bilangan real [tex]x_1, x_2, x_3, {\dots.... Question from @henriyulianto

August 2022 1 76 Report

(+50) KuMat - Kuis Matematika (repost)

Misalkan terdapat 100 bilangan real [tex]x_1, x_2, x_3, {\dots}, x_{100}[/tex] yang memenuhi kondisi:

[tex]\begin{cases}x_1 \le x_2 \le {\dots} \le x_{100}\\\\\left|x_1\right|+\left|x_2\right|+{\dots}+\left|x_{100}\right|=1\\\\x_1+x_2+{\dots}+x_{100}=0\end{cases}[/tex]

Nilai maksimum dari [tex]x_{76} - x_{16}[/tex] adalah [tex]\dfrac{m}{n}[/tex] di [tex]m[/tex] dan [tex]n[/tex] adalah dua bilangan asli yang relatif prima (koprima, atau saling prima).

Tentukan nilai [tex]m+n[/tex].

e18ht1nFinity

jika $\sf x_1, x_2, x_3, ...,x_{100}$ adalah bilangan berurutan, jumlah nya 0 dan jumlah bila dimutlak-kan adalah 1, maka, keseratus bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika dengan deretnya 1, karena pasti :

$\sf x_1 = -x_{100} \\ \sf x_2 = -x_{99} \\ \sf x_3=-x_{98} \\ \sf dst...$

maka -a = [/tex] \sf U_{100} = a + 99b [/tex]

a + 99b = -a

2a + 99b = 0

99b = -2a

$\sf b = - \frac{2}{99} a$

maka dari sini, kita dapat bahwa :

$\sf x_1 + x_2 + ... + x_{50} = -(x_{51} + x_{52} + ... + x_{100})= -\frac{1}{2}$

dengan itu, kita dapat :

Un = a + (n -1)b

$\sf U_{50} = a + 49b$

$\sf U_{50} = a + 49 ( - \frac{2}{99} a )$

$\sf U_{50} = a - \frac{98}{99} a$

$\sf U_{50} = \frac{1}{99} a$

lalu, kita dapat suatu deret aritmetika :

Sn = ½n (a + Un)

$\sf S_{50} = - \frac{1}{2}$

$\sf \frac{50}{2} (a + U_{50}) = - \frac{1}{2}$

$\sf 25 (a +\frac{1}{99} a) = - \frac{1}{2}$

$\sf \frac{100}{99} a = - \frac{1}{50}$

$\sf a = - \frac{99}{5000}$

$\sf b = - \frac{2}{99} a$

$\sf b = - \frac{2}{99} ( - \frac{99}{5000} )$

$\sf b = \frac{2}{5000}$

$\sf b = \frac{1}{2500}$

$\sf x_{76} -x{16}$

= (a + 75b) -(a + 15b)

= a + 75b -a -15b

= 60b

= 60/2500

= 6/250

= 3/125 = m/n

nilai m = 3 dan n = 125

m + n = 3 + 125

m + n = 128

1 votes Thanks 1

henriyulianto waduh masih kurang tepat kak. kondisinya adalah kurang dari atau sama dengan. bukan kurang dari. Jadi, dari x1 sampai x100 bisa terdapat nilai yang sama.
Intinya: mencari nilai maksimum x76 - x16. Maka, maksimumkan x76, dan minimumkan x16.
Dan ke-100 bilangan tersebut belum tentu membentuk deret teratur.

henriyulianto Clue:
Maksimumkan x76, maka x76 = x77 = x78 = ... = x100 > 0.
Alasan: Karena x76 maksimum, dan x76 ≤ x77 ≤ .. ≤ x100, maka nilai suku-suku setelahnya tidak boleh lebih dari x76.
Minimumkan x16, maka x1 = x2 = x3 = ... = x16 < 0.
Alasan: Karena x16 minimum, dan x1 ≤ x2 ≤ .. ≤ x16, maka nilai suku-suku sebelumnya tidak boleh kurang dari x16.
Lalu, x17 sampai x75 = 0.
Ini memenuhi kondisi pertama.

e18ht1nFinity mbb kak hapus aja jawaban ini saya lagi di pesantren kebetulan lagi ksn buka laptop, skrng saya gaada waktu ngoreksinya

henriyulianto biarin aja dulu kak. :D paling besok2 saya repost saja.