Q.[tex] \\ [/tex]Jika diketahui pada segitiga ABC tan A = [tex]\tt \frac{1}{3}[/tex] dan cos B = [te.... Question from @Nelsyasj

May 2022 1 9 Report

Q.
[tex] \\ [/tex]
Jika diketahui pada segitiga ABC tan A = [tex]\tt \frac{1}{3}[/tex] dan cos B = [tex]\tt \frac{1}{ \sqrt{10} }[/tex], tentukan [tex]\tt \frac{ |AB| }{ |BC| }[/tex] = ...
[tex] \\ [/tex]

henriyulianto

$\begin{aligned}\frac{|AB|}{|BC|}=\large\text{$\bf\sqrt{10}$}\end{aligned}$

Pembahasan

Trigonometri dan Segitiga

Permasalahan

Pada ΔABC, tan A = 1/3, dan cos B = 1/√10. |AB|/|BC| = ...

Penyelesaian

Karena tan A = 1/3:

$\displaystyle\sin A=\frac{1}{3}\cos A\quad...(i)$

Kita tahu bahwa sec² A = 1 + tan² A dan sec A = 1/cos A. Oleh karena itu:

$\begin{aligned}\cos A&=\sqrt{\frac{1}{1+\tan^2A}}\\&=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{9}}}\\&=\sqrt{\frac{1}{\frac{10}{9}}}\\&=\sqrt{\frac{9}{10}}\\\cos A&=\frac{3}{\sqrt{10}}\quad...(ii)\end{aligned}$

Karena cos B = 1/√10:

$\begin{aligned}\sin B&=\sqrt{1-\cos^2B}\\&=\sqrt{1-\frac{1}{10}}\\&=\sqrt{\frac{9}{10}}\\\sin B&=\frac{3}{\sqrt{10}}\qquad...(iii)\\\sin B&=3\cos B\quad...(iv)\\\cos B&=\frac{1}{3}\sin B\quad...(v)\end{aligned}$

Dari hubungan pada persamaan $(i)$ , $(ii)$ , $(iii)$ , $(iv)$ , dan $(v)$ , diperoleh:

$\begin{aligned}\bullet\ &\sin B = \cos A\quad...(vi)\\\bullet\ &\sin A = \cos B\quad...(vii)\\\end{aligned}$

Pada ΔABC, berdasarkan aturan sinus berlaku:

$\begin{aligned}&\frac{|AB|}{\sin C}=\frac{|BC|}{\sin A}=\frac{|AC|}{\sin B}\\\end{aligned}$

sehingga

$\begin{aligned}\frac{|AB|}{|BC|}&=\frac{\sin C}{\sin A}\\&=\frac{\sin[180^{\circ}-(A+B)]}{\sin A}\\&=\frac{\sin(A+B)}{\sin A}\\&=\frac{\sin A\cos B+\cos A\sin B}{\sin A}\\&\quad...\textsf{substitusi dari }(vi)\\&=\frac{\sin A\cos B+\cos A\,\underline{\cos A}}{\sin A}\\&\quad...\textsf{substitusi dari }(vii)\\&=\frac{\sin A\,\underline{\sin A}+\cos A\cos A}{\sin A}\\&=\frac{\sin^2A+\cos^2A}{\sin A}\\&=\frac{1}{\sin A}\end{aligned}$

$\begin{aligned}&\quad...\textsf{substitusi dari }(vii)\\\frac{|AB|}{|BC|}&=\frac{1}{\cos B}\\&=\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{10}}}\\&=\boxed{\ \bf\sqrt{10}\ }\end{aligned}$