Question

Punkty wspólne paraboli o równaniu [tex]y=-x^{2} +5[/tex] z osiami układu współrzędnych są wierzchołkami trójkąta ABC. Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]R=3[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]f(x)=-x^2+5[/tex]

Punkty wspólne paraboli z osią OX znajdziemy, obliczając miejsca zerowe funkcji.

[tex]f(x)=0\\-x^2+5=0\\-x^2=-5\\x^2=5\\x=\sqrt5\ \vee\ x=-\sqrt5[/tex]

Zatem punkty przecięcia z osią OX to

[tex]A(-\sqrt5,0), \ B(\sqrt5,0)[/tex]

Punkt przecięcia wykresu funkcji z osią OY znajdziemy poprzez obliczenie wartości funkcji dla argumentu 0.

[tex]f(0)=-0^2+5=5[/tex]

Zatem punkt przecięcia z osią OY to

[tex]C(0,5)[/tex]

Otrzymany trójkąt ABC jest równoramienny. Za podstawę przyjmiemy bok AB o długości

[tex]a=|AB|=\sqrt5-(-\sqrt5)=\sqrt5+\sqrt5=2\sqrt5[/tex]

Ramiona AC i BC mają długość

[tex]b=|AC|=|BC|=\sqrt{(0+\sqrt5)^2+(5-0)^2}=\sqrt{5+25}=\sqrt{30}[/tex]

Wysokość trójkąta jest równa odległości punktu C od osi OX, więc

[tex]h=5[/tex]

Promień okręgu opisanego policzymy ze wzoru

[tex]R=\frac{abc}{4P}[/tex]

Zatem

[tex]P=\frac{ah}{2}=\frac{2\sqrt5*5}{2}=5\sqrt5\\R=\frac{2\sqrt5*\sqrt{30}*\sqrt{30}}{4*5\sqrt5}=\frac{2\sqrt5*30}{4*5\sqrt5}=\frac{60\sqrt5}{20\sqrt5}=3[/tex]