Question

(+50) KuMat - Kuis Matematika

Misalkan [tex]n[/tex] adalah bilangan asli yang kurang dari atau sama dengan 1.000.000, atau dapat dinyatakan dengan [tex]1 \le n \le 1.000.000[/tex].
Ada berapa banyak bilangan [tex]n[/tex] yang dapat dinyatakan sebagai selisih dari kuadrat dua buah bilangan bulat tak-negatif (bilangan cacah) ?
______________
Sebagai contoh:
1 adalah salah satu bilangan [tex]n[/tex] yang memenuhi, karena 1 = 1² – 0².
8 adalah salah satu bilangan [tex]n[/tex] yang memenuhi, karena 8 = 3² – 1².

Answer 1

Jawab: 750.000 bilangan
 

Penjelasan

• Dua bilangan cacah berurutan dapat dinyatakan dengan a+1 dan a.
  Selisih kuadratnya:
  (a+1)² – a² = 2a + 1  ⇐ rumus bilangan cacah ganjil
  ⇒ (1) Setiap bilangan asli ganjil dapat dinyatakan sebagai selisih dari 2 bilangan kuadrat.

• Dua bilangan cacah yang berselisih 2 dapat dinyatakan dengan b+1 dan b–1.
  Selisih kuadratnya:
  (b+1)² – (b–1)² = 4b  ⇐ kelipatan 4
  ⇒ (2) Setiap bilangan asli kelipatan 4 dapat dinyatakan sebagai selisih dari 2 bilangan kuadrat.

• Dua bilangan cacah yang berselisih 3 dapat dinyatakan dengan c+3 dan c.
  Selisih kuadratnya:
  (c+3)² – c²
  = (c+1+2)² – c²
  = (c+1)² + 4(c+1) + 4 – c²
  = (c+1)² – c² + 4(c+2)
  = 2c + 1 + 4(c+2)
  = 2(3c+4) + 1
  = 2K + 1  ⇐ rumus bilangan cacah ganjil
  ⇒ sesuai pernyataan (1)

• Dua bilangan cacah yang berselisih 4 dapat dinyatakan dengan d+2 dan d–2.
  Selisih kuadratnya:
  (d+2)² – (d–2)² = 8d = 4(2d) = 4K  ⇐ kelipatan 4
  ⇒ sesuai pernyataan (2)

• Dan seterusnya.

Kemudian, selidiki untuk bilangan genap yang bukan merupakan kelipatan 4.

Bilangan cacah genap = 2k
Kuadratnya: 4k² ≡ 0 (mod 4).

Bilangan cacah ganjil = 2k+1.
Kuadratnya: 4k² + 4k + 1 = 4(k² + k) + 1 ≡ 1 (mod 4)

• Selisih kuadrat dari dua bilangan genap:
  (0 – 0) (mod 4) ≡ 0 (mod 4)
  ⇒ merupakan bilangan kelipatan 4
• Selisih kuadrat dari dua bilangan ganjil:
  (1 – 1) (mod 4) ≡ 0 (mod 4)
  ⇒ merupakan bilangan kelipatan 4
• Selisih kuadrat dari bilangan genap dan ganjil:
  (0 – 1) (mod 4) ≡ –1 (mod 4) ≡ 3 (mod 4)
  ⇒ merupakan bilangan ganjil yang 1 kurangnya dari kelipatan 4
• Selisih kuadrat dari bilangan ganjil dan genap:
  (1 – 0) (mod 4) ≡ 1 (mod 4)
  ⇒ merupakan bilangan ganjil yang 1 lebihnya dari kelipatan 4

Jadi, bilangan genap yang bukan merupakan kelipatan 4 tidak dapat dinyatakan sebagai selisih dari 2 bilangan kuadrat. Dan untuk semua kemungkinan, bilangan-bilangan n yang memenuhi adalah bilangan-bilangan yang memenuhi pernyataan (1) dan (2).

• Untuk pernyataan (1), pada rentang 1 ≤ n ≤ 1.000.000, terdapat 500.000 bilangan ganjil.
• Untuk pernyataan (2), pada rentang 1 ≤ n ≤ 1.000.000, terdapat 250.000 bilangan kelipatan 4, atau bilangan yang kongruen dengan 0 (mod 4).

Maka, pada rentang 1 ≤ n ≤ 1.000.000, ada 750.000 bilangan n yang dapat dinyatakan sebagai selisih dari kuadrat 2 buah bilangan cacah.

________________

Contoh-contoh (silahkan diperiksa sendiri).

• 56 = 4×14
  ⇒ 56 = (14+1)² – (14–1)²
  ⇒ 56 = 15² – 13²
• 56 = 8×7 = 2×4×7
  ⇒ 56 = (7+2)² – (7–2)²
  ⇒ 56 = 9² – 5²
• 72 = 8×9 = 2×4×9
  ⇒ 72 = (9+2)² – (9–2)²
  ⇒ 72 = 11² – 7²
• 1.001 = 2×500 + 1
  ⇒ 1.001 = (500+1)² – 500²
  ⇒ 1.001 = 501² – 500²
• 300.009 = 6×50.000 + 9
  ⇒ 300.009 = (50000+3)² – 50000²
  ⇒ 300.009 = 50003² – 50000²
• 999.999 = 6×166.665 + 9
  ⇒ 999.999 = (166.665+3)² – 166.665²
  ⇒ 999.999 = 166.668² – 166.665²
• 1.000.000 = 4×250.000
  ⇒ 1.000.000 = (250.000+1)² – (250.000–1)²
  ⇒ 1.000.000 = 250.001² – 249.999²
• 1.000.000 = 8×125.000
  ⇒ 1.000.000 = (125.000+2)² – (125.000–2)²
  ⇒ 1.000.000 = 125.002² – 124.998²

Dan seterusnya.