>.... Question from @erichelfredian07

SOLUSI UMUM:

$x^2+y^2-4ab=\bf22+16C^2$ , dengan nilai $C$ berasal dari persamaan kuadrat $C\left(m^2-4m-3\right)=0$ yang memiliki akar-akar x dan y.

Untuk $C = 1$ : $x^2+y^2-4ab=\bf38$ .

Pembahasan

Diketahui

$\begin{cases}x = 2 + \sqrt{7}\\y = 2 - \sqrt{7}\end{cases}$

Ditanyakan

Nilai dari $x^2+y^2-4ab$

Penyelesaian

Tidak ada informasi mengenai nilai $a$ dan $b$ , sehingga kedua variabel ini adalah variabel “bebas“. Meninjau nilai $x$ dan $y$ , kedua nilai tersebut merupakan bentuk akar konjugat (sekawan) dari sebuah persamaan kuadrat $am^2+bm+c=0$ , dengan akar-akar $m=x$ dan $m=y$ , atau sebaliknya.

Akar-akar sekawan ini memiliki rumus:

$x,y\:=\:\dfrac{-b}{2a}\:\pm\:\dfrac{\sqrt{D}}{2a}$

Jika $x$ dan $y$ adalah akar-akar dari persamaan kuadrat $am^2+bm+c=0$ , dan dengan bentuk $x,y=p\pm\sqrt{q}$ , maka:

$\begin{aligned}&x^2+y^2-4ab\\&{=\ }(x+y)^2-2xy-4ab\\&{=\ }\left(p+\sqrt{q}+p-\sqrt{q}\right)^2\\&{\quad}-2\left(p+\sqrt{q}\right)\left(p-\sqrt{q}\right)\\&{\quad}-4ab\\&{=\ }{(2p)}^2-2\left(p^2-q\right)-4ab\\&{=\ }4p^2-2p^2+2q-4ab\\&{=\ }2p^2+2q-4ab\\&{=\ }2\left(p^2+q\right)-4ab\quad...(i)\end{aligned}$

Perlu diperhatikan bahwa dengan menganggap $x$ dan $y$ merupakan akar-akar dari $am^2+bm+c=0$ , maka $a$ , $b$ dan $c$ dapat memiliki banyak alternatif nilai, karena $(m-x)(m-y)=0$ dan $C(m-x)(m-y)=0$ sama-sama memiliki akar-akar $x$ dan $y$ , dengan $C$ adalah konstanta/faktor pengali, dan $C \in \mathbb{R}$ . Kedua bentuk persamaan kuadrat di atas memiliki akar-akar dan sumbu simetri yang sama, namun ordinat titik puncaknya berbeda.

Untuk bentuk $(m-x)(m-y)=0$ : $a = 1\,,\ b=-(x+y)\,,\ c=xy$
Untuk bentuk $C(m-x)(m-y)=0$ : $a = C\,,\ b=-C(x+y)\,,\ c=Cxy$

Sesuai nilai $x$ dan $y$ yang diketahui di atas, maka $p=2$ dan $q=7$ , sehingga dengan substitusi nilai $p$ dan $q$ ke persamaan $(i)$ di atas, diperoleh:

$\begin{aligned}&x^2+y^2-4ab\\&{=\ }2\left(2^2+7\right)-4ab\\&{=\ }2(11)-4ab\\&{=\ }\boxed{\ \bf22-4ab\ }\qquad...(ii)\end{aligned}$

Nilai $x^2+y^2$ konstan, yaitu 22, namun nilai $4ab$ tergantung dari bentuk persamaan kuadratnya. Dengan bentuk persamaan kuadrat $C(m-x)(m-y)=0$ , adanya faktor pengali (scaling factor), yaitu $C$ , membuat $a$ menjadi $aC$ , dan $b$ menjadi $bC$ . Oleh karena itu, persamaan $(ii)$ di atas "diproyeksikan" menjadi:

$\boxed{\ x^2+y^2-4ab=\bf22-C^2(4ab)\ }$

Dengan $a = 1$ , maka $C=1$ . Kita tahu bahwa $p=2$ ( $p$ konstan, diperoleh dari nilai $x$ dan $y$ ), sehingga:

$\begin{aligned}&2=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}\\&{\Rightarrow\ }b=\bf{-}4\\&{\Rightarrow\ }x^2+y^2-C^2(4ab)\\&{\quad}=22-1^2(-16)\\&{\quad}=22+16\\&{\quad}=\bf38\end{aligned}$

Persamaan kuadratnya adalah:

$\begin{aligned}&m^2+(-4)m+\left(2^2-\left(\sqrt{7}\right)^2\right)=0\\&\Rightarrow m^2-4m+(4-7)=0\\&\Rightarrow \bf m^2-4m-3=0\end{aligned}$

Untuk $2m^2-8m-6=0$ , akar-akarnya juga $x$ dan $y$ di atas, dan dalam hal ini, $C=2$ . Dengan adanya faktor pengali $C$ ini, $4ab$ juga menjadi konstan, yaitu $\bf-16$ . Sehingga: