Question

Na szybko!

Rozwiąż równania. Pamiętaj o dziedzinie!

a) 2x - (11 - x) = 3x - 11

b) (7x - 5)/6 = (5x - 4)/5

c) (x - 2) (x - 5 1/3) = 0

d) - 3x (x - 1) = 0

e) (x^2 - 25) (x^2 - 16) = 0

f) (x^2 + 12) (x^2 - 36) = 0

g) (-2x + 4)/(x-2) = 0

h) 6/(x - 1) = 2

i) [tex]\sqrt{x}[/tex] = 5

j) 2/[tex]\sqrt{x}[/tex] = 7

k) ([tex]\sqrt{x}[/tex] + 1) = 2

l) [tex]\sqrt{x}[/tex] (x + 5) = 0

Answer 1

Rozwiązywanie równań

a)

równanie tożsamościowe, x ∈ R

b)

[tex]x = \frac{1}{5}[/tex]

c)

x = 2 lub x = [tex]5\frac{1}{3}[/tex]

d)

x = 0 lub x = 1

e)

x = 5 lub x = -5 lub x = 4 lub x = -4

f)

x = 6 lub x = -6

g)

równanie sprzeczne, brak rozwiązań

h)

x = 4

i)

x = 25

j)

[tex]x = \frac{4}{49}[/tex]

k)

x = 1

l)

x =0

Rozwiązanie:

Niewiadoma, która nie znajduje się w mianowniku ułamka lub pod pierwiastkiem może przyjmować dowolne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych.

Jeśli w mianowniku ułamka znajduje się wyrażenie z niewiadomą x, należy obliczyć, dla jakiej wartości x wyrażenie da wartość 0. Jeśli taki x istnieje, musimy wyłączyć go z dziedziny.

Liczba znajdująca się pod pierwiastkiem kwadratowym nie może być ujemna. Jeśli pod pierwiastkiem znajduje się niewiadoma, to dziedziną będą wartości większe lub równe 0.

Może zdarzyć się sytuacja, że trzeba będzie uwzględnić kilka warunków jednocześnie. Wtedy dziedziną jest iloczyn zbiorów rozwiązań tych warunków.

a)

Dziedzina: x ∈ R

Przerzucamy niewiadome na lewą stronę, a pozostałe liczby na prawo i przeprowadzamy działania:

2x - 11 + x = 3x - 11

0 = 0

Równanie tożsamościowe, rozwiązaniem równania jest zbiór liczb rzeczywistych - x ∈ R

b)

Dziedzina: x ∈ R

Mnożymy obie strony równania, aby pozbyć się ułamków:

[tex]\frac{7x-5}{6} = \frac{5x-4}{5} |*30[/tex]

Wymnażamy liczby przez nawiasy i redukujemy wyrazy podobne:

[tex]5(7x-5) = 6(5x-4)}[/tex]

35x - 25 = 30x - 24

5x = 1

[tex]x = \frac{1}{5}[/tex]

c)

Dziedzina: x ∈ R

W przypadku, gdy po lewej stronie równania znajduje się iloczyn dwóch wyrażeń, a po prawej 0, wiemy, że co najmniej jeden z czynników tego iloczynu jest 0.

Przyrównujemy oba czynniki do 0. Rozwiązaniem równania jest suma rozwiązań poniższych równań:

[tex](x-2) = 0[/tex] lub [tex](x- 5\frac{1}{3}) = 0[/tex]

x = 2 lub x = [tex]5\frac{1}{3}[/tex]

d)

Dziedzina: x ∈ R

-3x(x - 1) = 0

-3x = 0 lub x - 1 = 0

x = 0 lub x = 1

e)

Dziedzina: x ∈ R

x² - 25 = 0 lub x² - 16 = 0

x² = 25  lub x² = 16

Ponieważ niewiadoma może być zarówno liczbą dodatnią, jak i ujemną, pojedyncze równanie z x² będzie miało dwie liczby przeciwne jako rozwiązania:

x = 5 lub x = -5 lub x = 4 lub x = -4

f)

Dziedzina: x ∈ R

x² + 12 = 0 lub x² - 36 = 0

x² = -12 lub x² = 36

W pierwszym równaniu pojawia się sprzeczność - każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje liczbę nieujemną.

Z drugiego równania otrzymujemy:

x = 6 lub x = -6

g)

W mianowniku nie może pojawić się 0, dlatego zapisujemy dziedzinę:

Dziedzina: x ∈ R - {2}

[tex]\frac{-2x+4}{x-2} = 0[/tex]

[tex]-2x+4= 0[/tex]

x = 2

Ponieważ 2 nie należy do dziedziny, równanie nie ma rozwiązań - jest to równanie sprzeczne.

h)

W mianowniku nie może pojawić się 0, dlatego zapisujemy dziedzinę:

Dziedzina: x ∈ R - {1}

[tex]\frac{6}{x-1} = 2[/tex]

6 = 2x - 2

2x = 8

x = 4

i)

Niewiadoma znajduje się pod pierwiastkiem, dlatego:

Dziedzina: x ≥ 0

Rozwiązujemy równanie przez podniesienie obu stron do kwadratu:

x = 5²

x = 25

j)

W tym przypadku mamy złożenie warunków. Dla x pod pierwiastkiem D: x ≥ 0, dla x w mianowniku D: x ≠ 0. Razem daje to:

Dziedzina: x > 0

[tex]\frac{2}{\sqrt{x} } = 7[/tex]

2 = 7√x

[tex]\sqrt{x} = \frac{2}{7}[/tex]

[tex]x = \frac{4}{49}[/tex]

k)

Dziedzina: x ≥ 0

√x + 1 = 2

√x = 1

x = 1

l)

Dziedzina: x ≥ 0

√x(x + 5) = 0

√x = 0 lub x + 5 = 0

x =0 lub x = -5

Ponieważ x mogą przyjmować tylko wartości większe lub równe 0, jedynym rozwiązaniem równania jest x = 0.

#SPJ1