Question

Dane są zbiory :
[tex]A=\{ ~~x\in N:~~\mid 3x-5\mid\ \textless \ 4\frac{1}{2} ~~ \}\\\\B=\{ ~~x\in R:~~x^{3} -2x^{2} -9x+18=0~~ \}\\\\C=\{~~x\in N-\{2\}:~~x^{2} -6x+5\leq 0~~\}\\\\D=\{~~x\in R :~~\mid x-2\mid =1~~\}[/tex]

Wykaż, że (A ∪ B ) ∩ C = D

Answer 1

Verified answer

Cześć!

Zbiór A:
[tex]|3x-5| < 4,5 \iff 3x-5 < 4,5 \ \wedge \ 3x-5 > -4,5 \iff\\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\iff 3x < 9,5 \ \wedge \ 3x > 0,5 \iff \\\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\iff x < \frac{19}{6} \ \wedge \ x > \frac{1}{6} \iff x \in (\frac{1}{6}; \frac{19}{6})[/tex]

[tex]x \in \mathbb{N}[/tex], więc jedynie pasuje nam tu [tex]x \in \{1,2,3\}[/tex]

Zbiór B:

[tex]x^3-2x^2-9x+18=0[/tex]
Grupując:

[tex]x^2(x-2) -9(x-2)=0\\\\(x-2)(x^2-9)=0\\\\(x-2)(x-3)(x+3)=0 \\\\x \in \{-3;2,3\}[/tex]

Zbiór C:

[tex]x^2-6x+5\leq 0\\\\[/tex]

Ze wzorów Viete'a wiemy, że pierwiastkami są 1 i 5, więc:

[tex](x-1)(x-5)\leq 0[/tex]

a>0, ramiona skierowane do góry, szukanymi rozwiązaniami niedodatnimi są [tex]x \in \langle1; 5\rangle[/tex]. [tex]x \in \mathbb{N}-\{2\}[/tex], więc jedynymi iksami, które spełniają tę zależność, są [tex]x \in \{1;3;4;5\}[/tex]

Zbiór D:
[tex]|x-2|=1 \iff x-2=1 \ \vee \ x-2=-1 \iff \\\\~~~~~~~~~~~~~~~\iff x=3 \ \vee \ x=1 \iff x\in \{1;3\}[/tex]

Wobec czego:

[tex]x \in A \cup B \iff x\in A \ \vee \ x\in B[/tex]

[tex]A \cup B = \{-3;1;2;3\}[/tex]

[tex]x \in (A \cup B) \cap C \iff x \in (A \cup B) \ \wedge \ x \in C[/tex]

[tex](A \cup B) \cap C = \{1;3\}[/tex]

Łatwo zauważyć, że zarówno zbiór D składa się jedynie z [tex]\{1;3\}[/tex], wobec czego stwierdzamy, że [tex](A\cup B)\cap C = D[/tex], co należało wykazać.

Pozdrawiam!-