Question

jeśli boki mają długość 1, 1, [tex]\sqrt{2+\sqrt{3} }[/tex] to największy kąt tego trójkąta ma miarę:

a) 90°
b) 120°
c) 135°
d) 150°

Answer 1

d) 150°

Twierdzenie cosinusów

mówi, że kwadrat długości boku trójkąta jest równy sumie kwadratów pozostałych boków pomniejszonej o dwukrotność iloczynu tych pozostałych boków i cosinusa kąta leżącego między nimi.

Symbolicznie zapisujemy to:

                         [tex]\Large\text{$\bold{a^2=b^2+c^2-2bc\cos \alpha}$}[/tex]

gdzie boki b i c to ramiona kąta α.

W każdym trójkącie największy kąt leży naprzeciw najdłuższego boku.

Tutaj najdłuższym bokiem jest  [tex]\sqrt{2+\sqrt3}\approx1,93[/tex], czyli α jest kątem między bokami 1 i 1.

Czyli:

        [tex]\left(\sqrt{2+\sqrt3}\,\right)^2=1^2+1^2-2\cdot1\cdot1\cdot\cos \alpha}\\\\2+\sqrt3=1+1-2\cos \alpha}\\\\ 2\cos\alpha=-\sqrt3\qquad\big/:2\\\\\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}2[/tex]

Stąd wniosek, że α = 150°

{cos90° = 0

i ze wzorów redukcyjnych:

[tex]\cos120^o=\cos(180^o-60^o)=-\cos60^o=-\frac12\\\\ \cos135^o=\cos(180^o-45^o)=-\cos45^o=-\frac{\sqrt2}2\\\\ \cos150^o=\cos(180^o-30^o)=-\cos30^o=-\frac{\sqrt3}2[/tex] }