Kuis thn ajaran baru:
Jika penyelesaian dari
[tex]\rm9^x-6^x=4^x\:\:\:adalah[/tex]
[tex]\displaystyle\rm x=\frac{ln\left(a-b+\sqrt{a+b}\right)\:-\:ln\:b}{ln\:a\:-\:ln\:b}[/tex]
Tentukan nilai dari a³ - b³
Jika penyelesaian dari
[tex]\rm9^x-6^x=4^x\:\:\:adalah[/tex]
[tex]\displaystyle\rm x=\frac{ln\left(a-b+\sqrt{a+b}\right)\:-\:ln\:b}{ln\:a\:-\:ln\:b}[/tex]
Tentukan nilai dari a³ - b³
Jawab:
a³ - b³ = -19
Penjelasan dengan langkah-langkah:
logaritma
Ralat soal
[tex]\displaystyle\sf \frac{In(a-b+\sqrt{a+b})-In\:b}{In\:a-In\:b}\to\frac{In(a-b+\sqrt{a+b})-In\:a}{In\:a-In\:b}[/tex]
Sifat-sifat logaritma
[tex]\begin{aligned}9^x -6^x&=4^x\\3^{2x}-2^x.3^x - 2^{2x} &= 0 \cdots (kedua\:ruas\:bagi\:dengan\:3^{2x})\\\frac{3^{2x}}{3^{2x}}-\frac{2^x.3^x}{3^{2x}}-\frac{2^{2x}}{3^{2x}}&=0\\1-\left(\frac{2}{3}\right)^x-\left(\frac{2}{3}\right)^{2x}&=0\cdots misal\:\left(\frac{2}{3}\right)^x = u\\1-u-u^2&=0\\u^2+u-1&=0\cdots(a=1,b=1,c=-1)\\menggunakan\:rumus\:abc\\\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}u&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\u&=\frac{-1\pm\sqrt{1-4(1)(-1)}}{2(1)}\\u&=\frac{-1\pm\sqrt 5}{2}\end{aligned}[/tex]
karena [tex]u=\frac{-1-\sqrt 5}{2}[/tex] tidak memenuhi (karena hasil perpangkatan tidak mungkin bernilai negatif) , maka kita gunakan [tex]u=\frac{-1+\sqrt 5}{2}[/tex]
subtitusi u = [tex]\frac{2}{3}^x[/tex]
[tex]\displaystyle \left(\frac{2}{3}\right)^x=\frac{-1+\sqrt 5}{2}[/tex]
x = [tex]\displaystyle ^{\frac{2}{3}} log \frac{-1+\sqrt 5}{2}[/tex] = [tex]\displaystyle\frac{In(\frac{-1+\sqrt 5}{2})}{In(\frac{2}{3})}[/tex]
[tex]\displaystyle\sf\frac{In(\frac{-1+\sqrt 5}{2})}{In(\frac{2}{3})} = \frac{In(a-b+\sqrt{a+b})-In\:a}{In\:a-In\:b}[/tex]
Jabarkan menggunakan sifat logaritma natural
[tex]\displaystyle\sf\frac{In(-1+\sqrt 5)-In\:2}{In\:2-In\:3} = \frac{In(2-3+\sqrt{2+3})-In\:2}{In\:2-In\:3}[/tex]
Maka a = 2 , b = 3 . sehingga
= a³ - b³
= 2³ - 3³
= 8 - 27
= -19