Question

Wyznacz wymiary wanny w kształcie prostopadłościanu o pojemności [tex]32m^3[/tex] tak aby zużyć jak najmniej materiału.

Answer 1

Rozwiązanie:
Przyjmujemy arbitralnie, że najmniej materiału zużyjemy przy najmniejszym polu wanny. Ponadto wannę traktujemy jako zabudowaną w całości.

Przyjmujemy wymiary wanny jako [tex]x \times y \times z[/tex]. Z objętości:

[tex]$xyz=32 \implies z=\frac{32}{xy}[/tex]

Pole wanny:

[tex]$P=2(xy+xz+yz)=\frac{64}{x}+\frac{64}{y}+2xy[/tex]

Rozważmy funkcję:

[tex]$F(x,y)=\frac{64}{x}+\frac{64}{y}+2xy[/tex]

Zdefiniowaną dla [tex]x,y > 0[/tex].

Pochodne cząstkowe:

[tex]$\frac{\partial F}{\partial x}=2y-\frac{64}{x^2}[/tex]

[tex]$\frac{\partial F}{\partial y}=2x-\frac{64}{y^2}[/tex]

Układ równań:

[tex]$\left \{ {{2y-\frac{64}{x^2}=0} \atop {2x-\frac{64}{y^2}}=0} \right.[/tex]

[tex]$\left \{ {{2x^2y-64=0} \atop {2xy^2-64=0}} \right.[/tex]

Odjęcie stronami:

[tex]2xy(x-y)=0 \implies x=y[/tex]

Po podstawieniu:

[tex]$2x^3-64=0 \implies x=y=2^{\frac{5}{3}}[/tex]

Punkt stacjonarny:

[tex]$P_1=(x,y)=(2^{\frac53},2^{\frac53})[/tex]

Pochodne cząstkowe rzędu drugiego:

[tex]$\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} =\frac{128}{x^3}[/tex]

[tex]$\frac{\partial^2 F}{\partial x \partial y} =\frac{\partial^2 F}{\partial y \partial x}=2[/tex]

[tex]$\frac{\partial ^2 F}{\partial y^2}=\frac{128}{y^3}[/tex]

Hesjan:

[tex]$H(x,y)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{128}{x^3}&2\\2&\frac{128}{y^3}\end{array}\right][/tex]

[tex]$\det H(x,y)=\frac{16384}{x^3y^3} -4[/tex]

Dla punktu [tex]P_1[/tex] :

[tex]$\det H(P_1)=\frac{16384}{1024} -4=12 > 0[/tex]

Zatem w tym punkcie funkcja osiąga ekstremum.

Ponadto:

[tex]$\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} (P_1)=4 > 0[/tex]

Zatem jest to minimum.

Wymiary prostopadłościanu (wanny) wynoszą wówczas (wymiary podano w metrach):

[tex]$\left\{\begin{array}{ccc}x=2^{\frac{5}{3}}\\y=2^{\frac{5}{3}}\\z=2^{\frac{5}{3}}\end{array}\right[/tex]

Rozwiązanie wydaje się być naturalnym, gdyż otrzymaliśmy sześcienną wannę.