Question

~QUIZ~
.
Soal:
[tex]\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2} } + \frac{3}{2^{3} } + . . . + \frac{14}{2^{14} } = . . . ?[/tex]
.
Syarat untuk menjawab soal :
● Dilarang jawaban berupa komentar spam atau asal²an.
● Dilarang copas jawaban dari google.
● Jawabannya harus disertai dengan penjelasan yang masuk akal.
● Gunakanlah kata-kata jawabanmu sendiri yang baik dan benar.

Answer 1

Jawaban:

[tex]\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2} } + \frac{3}{2^{3} } + . . . + \frac{14}{2^{14} }[/tex]

[tex] = \frac{105}{ {2}^{105} } [/tex]

Penjelasan dengan langkah-langkah:

[tex]\frac{1}{2} + \frac{2}{2^{2} } + \frac{3}{2^{3} } + . . . + \frac{14}{2^{14} }[/tex]

[tex] = \frac{jumlah \: suku \: kelipatan \: 1}{jumlah \: suku\: perkalian \: pangkat \: 2 } [/tex]

jumlah suku kelipatan 1:

= 1 + 2 + 3 + ... + 14

a = 1, b = 1, n = 14

Sn = 1/2.n (2.a + (n - 1).b)

Sn = 1/2.14 (2.(1) + (14 - 1).1)

Sn = 7 (2 + 13)

Sn = 7 x 15

Sn = 105

jumlah suku perkalian pangkat 2:

= 2 . 2². 2³. 2⁴. _ . 2¹⁴

= 2¹. 2². 2³. 2⁴. _ . 2¹⁴

[tex] = {2}^{1 + 2 + 3 + 4 + ...14} [/tex]

[tex] = {2}^{105} [/tex]

Jumlah suku:

[tex]= \frac{jumlah \: suku \: kelipatan \: 1}{jumlah \: suku\: perkalian \: pangkat \: 2 }[/tex]

[tex] = \frac{105}{ {2}^{105} } [/tex]

Answer 2

Verified answer

[tex]\begin{aligned}&\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3 }+{\dots}+\frac{14}{2^{14}}\\&{=\ }\boxed{\,\bf\frac{2047}{1024}\,}\end{aligned}[/tex]
 

Penjelasan

Diberikan deret:

[tex]\begin{aligned}D&=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3 }+{\dots}+\frac{14}{2^{14}}\\\end{aligned}[/tex]

Deret tersebut bukan deret aritmatika, juga bukan deret geometri. Kita dapat menghitung jumlah ke-14 suku deret tersebut dengan cara sebagai berikut.

CARA PERTAMA

Misalkan kita punya deret geometri dengan suku pertama 1/2 dan rasio juga 1/2, yaitu:

[tex]\begin{aligned}\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+{\dots}+\frac{1}{2^{n}}\\\end{aligned}[/tex]

Jumlah n suku pertamanya adalah:

[tex]\begin{aligned}S_n&=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}\\&=\frac{\cancel{\dfrac{1}{2}}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)}{\cancel{1-\dfrac{1}{2}}}\\S_n&=1-\frac{1}{2^n}\end{aligned}[/tex]

Sehingga, jumlah 14 suku pertamanya adalah:

[tex]\begin{aligned}S_{14}&=1-\frac{1}{2^{14}}\\\end{aligned}[/tex]

Kemudian, kita kurangkan [tex]S_{14}[/tex] dari [tex]D[/tex].

[tex]\begin{aligned}D&=\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3 }+{\dots}+\frac{14}{2^{14}}\\S_{14}&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^3}+{\dots}+\frac{1}{2^{14}}\\\textsf{-----}&\textsf{--------------------------------------}\ -\\D-S_{14}&=\qquad\;\!\!\frac{1}{2^2}+\frac{2}{2^3}+\frac{3}{2^4}+{\dots}+\frac{13}{2^{14}}\\D-S_{14}&=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{2^2}+\frac{3}{2^3 }+{\dots}+\frac{14}{2^{14}}\right)-\frac{14}{2^{15}}\\D-S_{14}&=\frac{1}{2}D-\frac{14}{2^{15}}\\\end{aligned}[/tex]

Kedua ruas dikalikan 2.

[tex]\begin{aligned}2D-2S_{14}&=D-\frac{14}{2^{14}}\\2D-D&=2S_{14}-\frac{14}{2^{14}}\end{aligned}[/tex]

Selanjutnya:

[tex]\begin{aligned}D&=2\cdot\left(1-\frac{1}{2^{14}}\right)-\frac{14}{2^{14}}\\&=2-\frac{1}{2^{13}}-\frac{7}{2^{13}}\\&=2-\frac{8}{2^{13}}\\&=2-\frac{1}{2^{10}}\\&=\frac{2^{11}-1}{2^{10}}\\&=\frac{2048-1}{1024}\\D&=\boxed{\,\bf\frac{2047}{1024}\,}\end{aligned}[/tex]
______________

CARA KEDUA

Tanpa memperhitungkan penyederhanaan, penyamaan penyebut pada deret tersebut akan menghasilkan pecahan yang memiliki penyebut:

[tex]\begin{aligned}&2^{1}\cdot2^2\cdot2^3{\dots}2^{14}\\&=2^{1+2+3+{\dots}+14}\\&=2^{14(15)/2}\\&=\bf2^{105}\end{aligned}[/tex]

Untuk pembilangnya:

[tex]\begin{aligned}P_1&=1\cdot2^{105-1}=2^{104}\\P_2&=2\cdot2^{105-2}=2\cdot2^{103}\\P_3&=3\cdot2^{105-3}=3\cdot2^{102}\\\vdots\\P_{13}&=13\cdot2^{105-13}=13\cdot2^{92}\\P_{14}&=14\cdot2^{105-14}=14\cdot2^{91}\\\end{aligned}[/tex]

Pada pembilang pecahan hasil, penjumlahannya adalah:

[tex]\begin{aligned}\textstyle\sum P=2^{104}+2^{103}+2^{102}+2^{101}+{\dots}+2^{91}\\{}+2^{103}+2^{102}+2^{101}+{\dots}+2^{91}\\{}+2^{102}+2^{101}+{\dots}+2^{91}\\{}+2^{101}+{\dots}+2^{91}\\\ddots\qquad\vdots\quad\\{}+2^{91}\\\end{aligned}[/tex]

Jika dipecah per baris, menggunakan rumus deret geometri, diperoleh:

[tex]\begin{aligned}\textstyle\sum_{1} P&=2^{91}\left(2^{14}-1\right)\\\textstyle\sum_{2} P&=2^{91}\left(2^{13}-1\right)\\\vdots\\\textstyle\sum_{14} P&=2^{91}\left(2-1\right)\\\textsf{---------}&\textsf{-----------------------}\ +\\\textstyle\sum_{1}^{14} P&=2^{91}\left(2+2^2+2^4+{\dots}+2^{14}-14\right)\\&=2^{91}\left[2\left(2^{14}-1\right)-14\right]\\&=2^{92}\left[2^{14}-1-7\right]\\&=2^{92}\left[2^{14}-8\right]\\&=2^{95}\left[2^{11}-1\right]\\&=\bf2^{95}\cdot2047\end{aligned}[/tex]

Maka, hasil penjumlahan deret tersebut adalah:

[tex]\begin{aligned}D&=\frac{2^{95}\cdot2047}{2^{105}}\\&=\frac{\cancel{2^{95}}\cdot2047}{\cancel{2^{95}}\cdot2^{10}}\\&=\frac{2047}{2^{10}}=\boxed{\,\bf\frac{2047}{1024}\,}\end{aligned}[/tex]
______________

KESIMPULAN
∴ Jadi, jumlah deret tersebut adalah 2047/1024.
 
 
[tex]\overline{\begin{array}{l}\small\textsf{Duc In Altum}\\\small\text{bertolaklah\;ke\;tempat}\\\small\text{yang\;lebih\;dalam}\end{array}}[/tex]