Q.[tex] \\ [/tex][tex] \tt \: \lim_{x \to0} \: \frac{ {x}^{2} \sqrt{4 - {x}^{2} } }{cos \: x \:

Nilai dari $\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x^2}}{cosx-cos3x} }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{2}} }$ .

PEMBAHASAN

Teorema pada limit adalah sebagai berikut :

$(i)~\lim\limits_{x \to c} f(x)=f(c)$

$(ii)~\lim\limits_{x \to c} kf(x)=k\lim\limits_{x \to c} f(x)$

$(iii)~\lim\limits_{x \to c} [f(x)\pm g(x)]=\lim\limits_{x \to c} f(x)\pm\lim\limits_{x \to c} g(x)$

$(iv)~\lim\limits_{x \to c} [f(x)\times g(x)]=\lim\limits_{x \to c} f(x)\times\lim\limits_{x \to c} g(x)$

$\displaystyle{(v)~\lim\limits_{x \to c} \left [ \frac{f(x)}{g(x)} \right ]=\frac{\lim\limits_{x \to c} f(x)}{\lim\limits_{x \to c} g(x)} }$

$(vi)~\lim\limits_{x \to c} \left [ f(x) \right ]^n=\left [ \lim\limits_{x \to c} f(x) \right ]^n$

Rumus untuk limit fungsi trigonometri :

$\displaystyle{(i)~\lim\limits_{x \to 0} \frac{sinax}{bx}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{tanax}{bx}=\frac{a}{b} }$

$\displaystyle{(ii)~\lim\limits_{x \to 0} \frac{ax}{sinbx}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{ax}{tanbx}=\frac{a}{b} }$

$\displaystyle{(iii)~\lim\limits_{x \to 0} \frac{sinax}{sinbx}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{tanax}{tanbx}=\frac{a}{b} }$

$\displaystyle{(iv)~\lim\limits_{x \to a} \frac{sin(x-a)}{(x-a)}=\lim\limits_{x \to a} \frac{tan(x-a)}{(x-a)}=1 }$

DIKETAHUI

$\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x^2}}{cosx-cos3x}= }$

DITANYA

Tentukan nilai limitnya.

PENYELESAIAN

$\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x^2}}{cosx-cos3x} }$

$----------------$

$\displaystyle{cos\alpha-cos\beta=-2sin\left ( \frac{\alpha+\beta}{2} \right )sin\left ( \frac{\alpha-\beta}{2} \right )}$

$----------------$

$\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x^2}}{-2sin\left ( \frac{x+3x}{2} \right )sin\left ( \frac{x-3x}{2} \right )} }$

$\displaystyle{=\lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x^2}}{-2sin\left ( 2x \right )sin\left ( -x \right )} }$

$\displaystyle{=-\frac{1}{2}\lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x^2}}{sin\left ( 2x \right )(-sinx )} }$

$----------------$

$\displaystyle{sin(-\alpha)=-sin\alpha}$

$----------------$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}\lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x^2}}{sin2xsinx } }$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}\lim_{x \to 0} \frac{x}{sin2x}\times\lim_{x \to 0} \frac{x}{sinx }\times\lim_{x \to 0} \sqrt{4-x^2} }$

$\displaystyle{=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times1\times\sqrt{4-0^2} }$

$\displaystyle{=\frac{1}{4}\times2 }$

$\displaystyle{=\frac{1}{2} }$

KESIMPULAN

Nilai dari $\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x^2\sqrt{4-x^2}}{cosx-cos3x} }$ adalah $\displaystyle{\boldsymbol{\frac{1}{2}} }$ .

PELAJARI LEBIH LANJUT

Limit fungsi trigonometri : brainly.co.id/tugas/41998117
Limit trigonometri : brainly.co.id/tugas/38915095
Limit trigonometri : brainly.co.id/tugas/30308496

DETAIL JAWABAN

Kelas : 11

Mapel: Matematika

Bab : Limit Fungsi

Kode Kategorisasi: 11.2.8

Sinogen

Limit

$\boxed{\bf{lim_{x\to0}\ \frac{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}{\cos x-\cos3x}=\boxed{\bf{\frac{1}{2}}}}}$

$\:$

Limit

Pendahuluan

Hellow semuanya^^ , kali ini saya akan berbagi sedikit materi tentang ''Limit'' yang biasa dijumpai pas kelas 11 yah. Izinkan saya untuk menerangkannya y^^/. Semoga memahaminya!

Sering kita dengar saat SMA kata limit ini. Dan sering juga kita dengar bahwa limit itu ialah...yup Limit secara singkat berarti mendekati. Sedangkan, Limit pada fungsi ialah limit dengan variabelnya yang mendekati suatu fungsi, baik positif maupun negatif.

Teorema Limit :

$\scriptsize\mathbf{1.\ \ lim_{x\to a}\left\{f\left(x\right)\pm g\left(x\right)\right\}=lim_{x\to a}f\left(x\right)\pm lim_{x\to a}g\left(x\right)}$

$\scriptsize\mathbf{2.\ \ lim_{x\to a}\left\{f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right\},=lim_{x\to a}f\left(x\right)\cdot lim_{x\to a}g\left(x\right)}$

$\mathbf{3.\ \ lim_{x\to a}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)},=\frac{lim_{x\to a}f\left(x\right)}{lim_{x\to a}g\left(x\right)}}$

$\mathbf{4.\ \ lim_{x\to a}\left(k\cdot f\left(x\right)\right),=k\cdot lim_{x\to a}f\left(x\right),}$

==> dengan k adalaha konstanta.

$\mathbf{5.\ \ lim_{x\to a}\left(f\left(x\right)\right)^{n},=\left(lim_{x\to a}f\left(x\right)\right)^{n}}$

$\mathbf{6.}$ Jika $\mathbf{f\left(x\right)=k}$ , maka $\mathbf{lim_{x\to a}f\left(x\right)=k}$ , dengan k adalah konstanta.

$\mathbf{7.}$ Jika $\mathbf{f\left(x\right)=x}$ , maka $\mathbf{lim_{x\to a}f\left(x\right)=x}$ .

$\:$

Tips menemukan nilai limit :

1.) Dengan substitusi langsung

Kita hanya memasukkan nilai limitnya pada x (variabel) kedalam fungsi limitnya. Apabila menghasilkan 0/0, maka gunakan cara yg lain.

2.) Pemfaktoran

=> memfaktorkan fungsi dalam limit tersebut. Menghilangkan faktor (x – a), dari pembilang dan penyebut. Lalu apabila ada yang sama kita bisa coret dan menyelesaikannya.

3.) Dikalikan dengan bilangan sekawan

=> Apabila terdapat bentuk akar, maka terlebih dahulu dikalikan sekawan agar bentuk akar hilang, kemudian disederhanakan. ingat lagi konsep rumus aljabar kuadrat salah satunya ialah a² - b² = (a + b)(a - b)

4.) L'Hospital

=> Cara ini juga sering digunakan untuk sincostangen. Biasanya kita gunakan ini ketika cara subtisusi langsung gagal (0/0) maka L'Hospital solusinya. Dimana kita hanya menurunkan fungsi limitnya sampai dapat baik pada pembilang maupun penyebutnya.

$\boxed{\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}}$

$\:$

Pembahasan

Diketahui :

$\bf{lim_{x\to0}\ \frac{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}{\cos x-\cos3x}}$

Ditanya :

Hasil dari tersebut...

Jawaban :

Untuk soal ini, kita pisahkan dulu x kuadratnya dan akarnya masing''....
lalu kita gunakan Metode L'Hospital biar mudah pada x kuadratnya dan juga penyebutnya.
Berikut lebih jelasnya,

$\bf{lim_{x\to0}\ \frac{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}{\cos x-\cos3x}}$

$\bf{\left(lim_{x\to0}\ \frac{x^{2}}{\cos x-\cos3x}\right)\left(lim_{x\to0}\sqrt{4-x^{2}}\right)}$