La parábola verde tiene la ecuación
y= [tex]y=\frac{-x2}{2} + 8[/tex]
Se cruza con el eje x en A y B
El punto M es un punto móvil (entre A y
B) en la parábola
Pregunta: Determine la posición del punto.
M de modo que el área del triángulo AMN es
máximo
Lo que es esperado :
Parte 1: Modelado
Parte 2: Tratamiento matemático
ayudaaaaaaa
y= [tex]y=\frac{-x2}{2} + 8[/tex]
Se cruza con el eje x en A y B
El punto M es un punto móvil (entre A y
B) en la parábola
Pregunta: Determine la posición del punto.
M de modo que el área del triángulo AMN es
máximo
Lo que es esperado :
Parte 1: Modelado
Parte 2: Tratamiento matemático
ayudaaaaaaa
Respuesta:
La posicion de M es (1.3 ; 7.1) tal que el area del triangulo AMN es maximo
Explicación paso a paso:
si se cruza con el eje x en A B quiere decir que en ese momento y = 0
entonces 0 = -x^2/2 + 8
x = 4 o x=-4
entonces los puntos de esa parabola en el eje x son A=(4,0) y B=(-4,0)
y tambien si x= 0 entonces y = 8 osea vertice de parabola v(0,8)
Ahora el punto M es un punto arbitrario (x,y) de tal manera que AMN
El area del triangulo se haya como A = bxh/2
La base del triangulo AMN es la distancia de a A hacia N
osea dAN = [tex]\sqrt{(X-(-4))^{2} } = \sqrt{(x+4)^{2} } = x+4[/tex]
Y elegimos a M de modo que tenga el mismo X que el punto N para que formemos un triangulo rectángulo para asi poder hallar el area maxima, entonces nos queda que M = (x,y) que pertenece a la parabola pero remplazando el (y) de la formula parabolica tenemos que M = (x , [tex]\frac{-x^2}{2}[/tex]+8)
Entonces formariamos un triangulo rectangulo
de base (b) = x+4 y altura(h) = [tex]\frac{-x^2}{2}[/tex] + 8
entonces Area(A) = (x+4)*([tex]\frac{-x^2}{2}[/tex]+8) / 2
A = [tex]\frac{-x^3}{2} +8x-2x^2+32[/tex]
Paso siguiente para hallar el x que hace maxima el Area del triangulo AMN
tomamos la derivada del Area respecto a x
A' = [tex]\frac{-3x^2}{2} +8 -4x[/tex]
ahora igualamos la derivada del Area a 0
0 = [tex]\frac{-3x^2}{2} +8 -4x[/tex]
0 = [tex]\frac{3x^2}{2} -8 +4x[/tex]
formando binomio cuadrado
0 = [tex](\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{2} } x + \frac{2\sqrt2{} }{\sqrt{3} } )^2 - \frac{32}{3}[/tex]
32/3 = [tex](\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{2} } x + \frac{2\sqrt2{} }{\sqrt{3} } )^2[/tex]
sacando rais a ambos lados
[tex]\frac{4\sqrt{2} }{\sqrt{3} } =\frac{\sqrt{3} }{\sqrt{2} } x + \frac{2\sqrt2{} }{\sqrt{3} } \\\frac{2\sqrt{2} }{\sqrt{3} } = \frac{\sqrt{3} }{\sqrt{2} } x\\\frac{4}{3} = x\\[/tex]
Por lo tanto x = 4/3 hace que el area del triangulo AMN sea maximo
pero piden las coordenadas del punto M , entonces solo se remplasa x en la formula de la parabola para hallar la componente y
y = [tex]\frac{-(\frac{4}{3})^2 }{2} + 8[/tex]
y = 7.1
Por lo que la posicion del punto M es (4/3 ; 7.1) = (1,3 ; 7.1)