Question

Jika [tex]\displaystyle a[/tex] dan [tex]\displaystyle b[/tex] bilangan real sehingga
[tex]\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x^2+\frac{1}{x}}-\sqrt{ax+b}}{x-2}=L[/tex]
maka nilai dari
[tex]\displaystyle \lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{ax^2+bx}}{2x^2-3x+1}[/tex]
sama dengan ...

Answer 1

Verified answer

[tex]\begin{aligned}&{\sf Jika\ }a\ {\sf dan\ }b\ \textsf{bilangan real sehingga}\\&\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x}}-\sqrt{ax+b}}{x-2}=L\\&\textsf{maka nilai dari}\\&\lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{ax^2+bx}}{2x^2-3x+1}=\boxed{\vphantom{\big|}\,2L\,}\end{aligned}[/tex]
 

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Limit

Jika [tex]a[/tex] dan [tex]b[/tex] bilangan real sehingga
[tex]\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x}}-\sqrt{ax+b}}{x-2}=L[/tex]
dan karena penyebutnya = 0 ketika x disubstitusi oleh 2, maka fungsi dalam limit bernilai 0/0 yang dapat diselesaikan dengan beberapa alternatif penyelesaian.

Dengan menganggap pembilangnya = 0:

[tex]\begin{aligned}&\lim_{x\to2}\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x}}-\sqrt{ax+b}=0\\&{\Rightarrow\ }\lim_{x\to2}\sqrt{\dfrac{x^3+1}{x}}-\sqrt{\frac{ax^2+bx}{x}}=0\\&{\Rightarrow\ }\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{ax^2+bx}}{\sqrt{x}}=0\\&{\Rightarrow\ }\lim_{x\to2}\left(\sqrt{x^3+1}-\sqrt{ax^2+bx}\right)=0\\&{\Rightarrow\ }3-\sqrt{4a+2b}=0\\&{\Rightarrow\ }\sqrt{4a+2b}=3\\&{\Rightarrow\ }4a+2b=9\quad...(i)\\&{\Rightarrow\ }2a+b=\frac{9}{2}\quad...(ii)\\\end{aligned}[/tex]

Kemudian, yang ingin dicari adalah nilai dari:
[tex]\displaystyle \lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{ax^2+bx}}{2x^2-3x+1}[/tex]

Sama kasusnya dengan limit sebelumnya, yaitu penyebutnya = 0 jika langsung disubstitusi, sehingga fungsi rasional dalam limit bernilai 0/0 yang dapat diselesaikan dengan beberapa alternatif penyelesaian.

Dengan menganggap pembilangnya = 0:

[tex]\begin{aligned}&\lim_{x\to\frac{1}{2}}\left(\sqrt{x^3+1}-\sqrt{ax^2+bx}\right)=0\\&{\Rightarrow\ }\sqrt{\frac{9}{8}}-\sqrt{\frac{a}{4}+\frac{b}{2}}=0\\&{\Rightarrow\ }\frac{\sqrt{9}}{2\sqrt{2}}-\sqrt{\frac{a+2b}{4}}=0\\&{\Rightarrow\ }\frac{\sqrt{9}}{2\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\sqrt{a+2b}=0\\&{\Rightarrow\ }\sqrt{\frac{9}{2}}-\sqrt{a+2b}=0\\&{\Rightarrow\ }\sqrt{a+2b}=\sqrt{\frac{9}{2}}\\&{\Rightarrow\ }a+2b=\frac{9}{2}\\&{\Rightarrow\ }2a+4b=9\quad...(iii)\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&{\Rightarrow\ }a+2b=\frac{9}{2}\quad...(iv)\\\end{aligned}[/tex]

Dari jumlah persamaan (i) dan (iii), kita juga dapat memperoleh:

[tex]\begin{aligned}6a+6b&=18\\\Rightarrow\ a+b&=3\quad...(v)\end{aligned}[/tex]

Karena dari persamaan (i) dan (iii), atau (ii) dan (iv), koefisien a dan b saling tukar, maka sudah pasti a = b = 3/2.

Kemudian:

[tex]\begin{aligned}L&=\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x^2+\dfrac{1}{x}}-\sqrt{ax+b}}{x-2}\\&=\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{\dfrac{x^3+1}{x}}-\sqrt{\dfrac{ax^2+bx}{x}}}{x-2}\\&=\lim_{x\to2}\frac{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{ax^2+bx}}{(x-2)\sqrt{x}}\end{aligned}[/tex]

Dengan aturan L’Hopital:

[tex]\begin{aligned}L&=\lim_{x\to2}\frac{\left(\sqrt{x^3+1}-\sqrt{ax^2+bx}\right)'}{\left((x-2)\sqrt{x}\right)'}\\&=\lim_{x\to2}\frac{\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}}-\dfrac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx}}}{\sqrt{x}+\dfrac{(x-2)}{2\sqrt{x}}}\\&=\frac{2-\dfrac{4a+b}{2\sqrt{4a+2b}}}{\sqrt{2}}\\&=\sqrt{2}-\dfrac{4a+b}{2\sqrt{2}\sqrt{4a+2b}}\\&=\sqrt{2}-\dfrac{4a+b}{2\sqrt{2}\sqrt{9}}\ \because\ {\sf pers.\ }(i)\\&=\sqrt{2}-\dfrac{5a}{6\sqrt{2}}\ \because\ a=b\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&=\sqrt{2}-\dfrac{5\cdot\dfrac{3}{2}}{6\sqrt{2}}\\&=\sqrt{2}-\dfrac{15}{12\sqrt{2}}\\&=\sqrt{2}-\dfrac{5}{4\sqrt{2}}\\&=\frac{8-5}{4\sqrt{2}}\\L&=\bf\frac{3}{4\sqrt{2}}\end{aligned}[/tex]

Kemudian, untuk nilai limit yang ingin dicari, dengan aturan L’Hopital:

[tex]\begin{aligned}&\lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{ax^2+bx}}{2x^2-3x+1}\\&{=\ }\lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{\left(\sqrt{x^3+1}-\sqrt{ax^2+bx}\right)'}{\left(2x^2-3x+1\right)'}\\&{=\ }\lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{\dfrac{\left(x^3+1\right)'}{2\sqrt{x^3+1}}-\dfrac{\left(ax^2+bx\right)'}{2\sqrt{ax^2+bx}}}{4x-3}\\&{=\ }\lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{\dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}}-\dfrac{2ax+b}{2\sqrt{ax^2+bx}}}{4x-3}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&{=\ }\frac{\dfrac{\dfrac{3}{4}}{2\sqrt{\dfrac{1}{8}+1}}-\dfrac{a+b}{2\sqrt{\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}}}}{2-3}\\&{=\ }(-1)\left(\frac{\dfrac{3}{4}}{2\sqrt{\dfrac{9}{8}}}-\dfrac{a+b}{2\sqrt{\dfrac{a+2b}{4}}}\right)\\&{=\ }\frac{a+b}{\sqrt{a+2b}}-\frac{\dfrac{3}{4}}{\dfrac{6}{2\sqrt{2}}}\\&{=\ }\frac{a+b}{\sqrt{a+2b}}-\frac{\dfrac{\cancel{3}}{4}}{\dfrac{\cancel{3}}{\sqrt{2}}}\\&{=\ }\frac{a+b}{\sqrt{a+2b}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\end{aligned}[/tex]
[tex]\begin{aligned}&{=\ }\frac{3}{\sqrt{\dfrac{9}{2}}}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\ \because {\sf pers.\ }(iv), (v)\\&{=\ }\sqrt{2}-\frac{1}{2\sqrt{2}}\\&{=\ }\frac{4-1}{2\sqrt{2}}\\&{=\ }\bf\frac{3}{2\sqrt{2}}\\&{=\ }2\cdot\frac{3}{4\sqrt{2}}\\&{=\ }2L\end{aligned}[/tex]

KESIMPULAN

Jadi, nilai dari
[tex]\displaystyle \lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{\sqrt{x^3+1}-\sqrt{ax^2+bx}}{2x^2-3x+1}[/tex]
sama dengan 2L.