[tex]\huge\boxed{\frac{19}{79}=\frac{1}{p+\frac{1}{q-\frac{r}{s}}}}[/tex] r < s < p

xcvi @xcvi

May 2022 1 32 Report

[tex]\huge\boxed{\frac{19}{79}=\frac{1}{p+\frac{1}{q-\frac{r}{s}}}}[/tex]
r < s < p < q
p + q + r + s = ....

henriyulianto

p + q + r + s = 16

Pembahasan

Kita akan menentukan nilai $p+q+r+s$ di mana $p$ , $q$ , $r$ , dan $s$ memenuhi:

$\begin{aligned}&\frac{19}{79}=\frac{1}{p+\dfrac{1}{q-\dfrac{r}{s}}}\\&\quad{\sf dengan}\ r < s < p < q\\&\quad{\sf dan}\ p,q,r,s\:\in\:\mathbb{N}\end{aligned}$

$\begin{aligned}\frac{19}{79}&=\frac{1}{\ p+\dfrac{1}{q-\dfrac{r}{s}}\ }\\&=\frac{1}{\ p+\dfrac{1}{\dfrac{\ qs-r\ }{s}}\ }\\&=\frac{1}{p+\dfrac{s}{qs-r}}\\&=\frac{1}{\ \dfrac{p(qs-r)+s}{qs-r}\ }\\\frac{19}{79}&=\frac{qs-r}{p(qs-r)+s}\end{aligned}$

Memperhatikan kesamaan penyebut dan pembilang antara ruas kiri dan kanan, ambil $19=qs-r$ , sehingga:

$\begin{aligned}79&=19p+s\,,\ s < p\\19\cdot4+3&=19p+s\\\therefore\ p&={\bf4}\,,\ s=\bf3\end{aligned}$

(Tanpa ada batasan $p,s\in\mathbb{N}$ , nilai $p$ bisa lebih dari 4, dengan nilai $n < 0$ .)

Dengan $s = 3$ dapat kita peroleh:

$\begin{aligned}19&=3q-r\,,\ r < 3 < 4 < q\\3\cdot7-2&=3q-r\\\therefore\ q&={\bf7}\,,\ r=\bf2\end{aligned}$

(Tanpa ada batasan $r < s < p < q$ , terdapat banyak kemungkinan nilai $q$ dan $r$ di mana $q,r\in\mathbb{N}$ . Semakin besar nilai $q$ , semakin besar pula nilai $r$ .)

Dengan demikian, bentuk pecahan di atas secara lengkap dinyatakan oleh:

$\begin{aligned}\frac{19}{79}&=\frac{1}{\ {\bf4}+\dfrac{1}{{\bf7}-\dfrac{\bf2}{\bf3}}\ }\\&=\frac{1}{\ 4+\dfrac{1}{\dfrac{19}{3}}\ }\\&=\frac{1}{\ 4+\dfrac{3}{19}\ }\\&=\frac{1}{\ \dfrac{79}{19}\ }\\\frac{19}{79}&=\frac{19}{79}\end{aligned}$