Question

Wskaż równość prawdziwą.
A. [tex]-256^{2} = (-256)^{2}[/tex]
B. [tex]256^{3} =(-256)^{3}[/tex]
C. [tex]\sqrt{(-256)^{2} } = -256[/tex]
D. [tex]\sqrt[3]{-256} = -\sqrt[3]{256}[/tex]
Proszę o wytłumaczenie wyniku.

Answer 1

D.

Potęgowanie

Potęgowanie oznacza wielokrotne mnożenie pewnej liczby przez nią samą taką ilość razy, ile wynosi wykładnik potęgi.

[tex]\huge\begin{matrix}a^n&=&\underbrace{a\cdot a\cdot...\cdot a}_{n\text{ razy}}\end{matrix}[/tex]

Pierwiastkowanie

Pierwiastkowanie polega na odnalezieniu takiej liczby, która podniesiona do potęgi równej stopniowi pierwiastka da liczbę podpierwiastkową.

[tex]\huge\begin{matrix}\sqrt[n]{a}=b&\Rightarrow&b^n=a\end{matrix}[/tex]

Pamiętamy, że:

• Dowolna liczba podniesiona do potęgi 0 jest równa 1.
  [tex]a^0=1[/tex]
• Dowolna liczba podniesiona do potęgi 1 jest równa tej samej liczbie.
  [tex]a^1=a[/tex]
• Dowolna rzeczywista potęga liczby dodatniej jest zawsze dodatnia.
• Parzysta potęga liczby ujemnej jest zawsze dodatnia.
• Nieparzysta potęga liczby ujemnej jest zawsze ujemna.
• Jeżeli pierwiastkujemy liczbę podniesioną do potęgi równej stopniu pierwiastka, to wynikiem jest wartość bezwzględna liczby potęgowanej.
  [tex]\sqrt[n]{a^n}=|a|[/tex]
• Pierwiastek parzystego stopnia z liczby dodatniej jest zawsze dodatni.
• W zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek parzystego stopnia z liczby ujemnej.
• Pierwiastek nieparzystego stopnia z liczby ujemnej jest liczbą ujemną.

Rozwiązanie:

Analizujemy równości z treści zadania.

A.

-256² - potęgujemy wyłącznie liczbę, bez znaku -, stąd liczba jest ujemna.

(-256)² - potęgowana liczba jest dodatnia.

Dlatego -256² ≠ (-256)² - równość jest fałszywa.

B.

256³ - potęgowana liczba jest dodatnia.

(-256)³ - nieparzysta potęga liczby ujemnej - wynik jest ujemny.

Dlatego 256³ ≠ (-256)³ - równość jest fałszywa.

C.

[tex]\sqrt{(-256)^2}[/tex] - pierwiastek drugiego stopnia z kwadratu liczby ujemnej - liczba jest dodatnia, ponieważ najpierw potęgujemy liczbę uzyskując liczbę dodatnią, a następnie pierwiastkujemy, uzyskując w efekcie liczbę dodatnią.

Dlatego [tex]\underline{\bold{\sqrt{(-256)^2}\neq -256}}[/tex] - równość jest fałszywa.

D.

[tex]\sqrt[3]{-256}[/tex] - pierwiastek trzeciego stopnia z liczby ujemnej jest zawsze liczbą ujemną.

Dlatego [tex]\underline{\bold{\sqrt[3]{-256}=-\sqrt[3]{256}}}[/tex] - równość jest prawdziwa.