Question

Wykaż ,że
[tex]sin^2\alpha +sin^2\beta +sin^2\gamma[/tex]
>2 , jeżeli trójkąt jest ostrokątny
=2 , jeżeli trójkąt jest prostokątny
<2 , jeżeli trójkąt jest rozwartokątny
gdzie [tex]\alpha ,\beta ,\gamma[/tex] oznaczają miary kątów wewnętrznych trójkąta.

Answer 1

[tex]sin^2\alpha+sin^2\beta+sin^2\gamma=[/tex]

---------------

Wzory:

[tex]cos2x=1-2sin^2x\\\\2sin^2=1-cos2 x\ \ \ |:2\\\\sin^2x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos 2x\\\\\\sin^2x+cos^2=1\\sin^2x=1-cos^2 x[/tex]

---------------

[tex]\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2\alpha+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2\beta+1-cos^2 \gamma=[/tex]

[tex]2-\frac{1}{2}cos2\alpha-\frac{1}{2}cos2\beta-cos^2 \gamma=[/tex]

[tex]2-\frac{1}{2}(cos2\alpha+cos2\beta)-cos^2 \gamma=[/tex]

---------------

Wzór:

[tex]cos x+ cos y=2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}[/tex]

---------------

[tex]2-\frac{1}{2} \left(2cos\frac{2\alpha+2\beta}{2}cos\frac{2\alpha-2\beta}{2} \right) -cos^2 \gamma=[/tex]

[tex]2-cos\frac{2(\alpha+\beta)}{2}cos\frac{2(\alpha-\beta)}{2} -cos^2 \gamma=[/tex]

[tex]2-cos(\alpha+\beta)cos(\alpha-\beta) -cos^2 \gamma=[/tex]

---------------

Wzór:

[tex]\alpha+\beta+\gamma=180^o\\\\\alpha+\beta=180^o-\gamma[/tex]

---------------

[tex]2-cos(180^o-\gamma)cos(\alpha-\beta) -cos^2 \gamma=[/tex]

---------------

Wzór:

[tex]cos(180^o-x)=-cos x[/tex]

---------------

[tex]2+cos\gamma cos(\alpha-\beta) -cos^2 \gamma=[/tex]

[tex]2+cos\gamma \left(cos(\alpha-\beta) -cos\gamma\right) =[/tex]

---------------

Wzór:

[tex]\alpha+\beta+\gamma=180^o\\\\\\\gamma=180^o-(\alpha+\beta)[/tex]

---------------

[tex]2+cos\gamma \left(cos(\alpha-\beta) -cos \left[180^o-(\alpha+\beta)\right] \right) =[/tex]

---------------

Wzór:

[tex]cos(180^o-x)=-cos x[/tex]

---------------

[tex]2+cos\gamma \left(cos(\alpha-\beta)+cos (\alpha+\beta) \right) =[/tex]

---------------

Wzór:

[tex]cos x+ cos y=2cos\frac{x+y}{2}cos\frac{x-y}{2}[/tex]

---------------

[tex]2+cos\gamma \cdot2cos\frac{\alpha-\beta+\alpha+\beta}{2}cos\frac{\alpha-\beta-\alpha\beta}{2} =[/tex]

[tex]2+cos\gamma \cdot2cos\frac{2\alpha}{2}cos\frac{-2\beta}{2} =[/tex]

[tex]2+2cos\gamma cos\alpha cos(-\beta) =[/tex]

---------------

Wzór:

[tex]cos(-x)=cos x[/tex]

---------------

[tex]2+2cos\alpha cos\beta cos\gamma[/tex]

________________________

[tex]sin^2\alpha+sin^2\beta+sin^2\gamma=2+2cos\alpha cos\beta cos\gamma[/tex]

[tex]sin^2\alpha+sin^2\beta+sin^2\gamma>2[/tex]

[tex]2+2cos\alpha cos\beta cos\gamma>2[/tex]

[tex]2cos\alpha cos\beta cos\gamma>2-2[/tex]

[tex]2cos\alpha cos\beta cos\gamma>0\ \ \ |:2[/tex]

[tex]cos\alpha cos\beta cos\gamma>0[/tex]

[tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex], to kąty trójkąta.

Iloczyn cosinusów, jest dodatni, czyli każdy z kątów musi być kątem ostrym, więc trójkąt jest ostrokątny.

[tex]sin^2\alpha+sin^2\beta+sin^2\gamma=2[/tex]

[tex]2+2cos\alpha cos\beta cos\gamma=2[/tex]

[tex]2cos\alpha cos\beta cos\gamma=2-2[/tex]

[tex]2cos\alpha cos\beta cos\gamma=0\ \ \ |:2[/tex]

[tex]cos\alpha cos\beta cos\gamma=0[/tex]

[tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex], to kąty trójkąta.

Iloczyn cosinusów, jest równy zero, czyli jeden z kątów musi być kątem prostym, więc trójkąt jest prostokątny.

[tex]sin^2\alpha+sin^2\beta+sin^2\gamma<2[/tex]

[tex]2+2cos\alpha cos\beta cos\gamma<2[/tex]

[tex]2cos\alpha cos\beta cos\gamma<2-2[/tex]

[tex]2cos\alpha cos\beta cos\gamma<0\ \ \ |:2[/tex]

[tex]cos\alpha cos\beta cos\gamma<0[/tex]

[tex]\alpha, \beta, \gamma[/tex], to kąty trójkąta.

Iloczyn cosinusów, jest ujemny, czyli jeden z kątów musi być kątem rozwartym, więc trójkąt jest rozwartokątny.