Question

Proszę o pomoc w 2 zadaniach.
1. Oblicz
a) [tex]\frac{tg\alpha+ ctg\alpha }{sin\alpha+cos\alpha}[/tex], jeśli ctg alfa =2
b) [tex]\frac{sin\alpha+cos\alpha}{tg\alpha+ctg\alpha}[/tex], jeśli tg alfa =[tex]\frac{1}{2}[/tex]

2. Zbadaj, czy istnieje kąt alfa, [tex]\alpha[/tex] ∈ (0°, 360°) dla którego [tex]cos \alpha = \frac{7}{25}[/tex] i [tex]tg\alpha= 3\frac{3}{7}[/tex]. Odpowiedź usasadnij.

Answer 1

Zadanie 1.

a)

[tex]\text{ctg}\alpha=2\\\text{tg}\alpha=\frac{1}{\text{tg}\alpha}=\frac{1}{2}\\\text{ctg}\alpha=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}=2\ |*\sin\alpha\\\cos\alpha=2\sin\alpha\\\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\\sin^2\alpha+(2\sin\alpha)^2=1\\\sin^2\alpha+4\sin^2\alpha=1\\5\sin^2\alpha=1\ |:5\\\sin^2\alpha=\frac{1}{5}\\\sin\alpha=\sqrt{\frac{1}{5}}\ \vee\ \sin\alpha=-\sqrt{\frac{1}{5}}\\\sin\alpha=\frac{1}{\sqrt5}*\frac{\sqrt5}{\sqrt5}\ \vee\ \sin\alpha=-\frac{1}{\sqrt5}*\frac{\sqrt5}{\sqrt5}[/tex]

[tex]\sin\alpha=\frac{\sqrt5}{5}\ \vee\ \sin\alpha=-\frac{\sqrt5}{5}\\\left \{ {{\sin\alpha=\frac{\sqrt5}{5}} \atop {\cos\alpha=\frac{2\sqrt5}{5}}} \right. \vee\left \{ {{\sin\alpha=-\frac{\sqrt5}{5}} \atop {\cos\alpha=-\frac{2\sqrt5}{5}}} \right.[/tex]

Zatem podane wyrażenie ma wartość:

- przypadek 1 (sin i cos są dodatnie):

[tex]\frac{\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{2}+2}{\frac{\sqrt5}{5}+\frac{2\sqrt5}{5}}=\frac{2\frac{1}{2}}{\frac{3\sqrt5}{5}}=\frac{5}{2}*\frac{5}{3\sqrt5}=\frac{25}{6\sqrt5}*\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=\frac{25\sqrt5}{6*5}=\frac{5\sqrt5}{6}[/tex]

- przypadek 1 (sin i cos są ujemne):

[tex]\frac{\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}=\frac{\frac{1}{2}+2}{-\frac{\sqrt5}{5}-\frac{2\sqrt5}{5}}=\frac{2\frac{1}{2}}{-\frac{3\sqrt5}{5}}=\frac{5}{2}*(-\frac{5}{3\sqrt5})=-\frac{25}{6\sqrt5}*\frac{\sqrt5}{\sqrt5}=-\frac{25\sqrt5}{6*5}=-\frac{5\sqrt5}{6}[/tex]

b)

Zauważmy, że skoro

[tex]\text{tg}\alpha=\frac{1}{2}[/tex]

to

[tex]\text{ctg}\alpha=\frac{1}{\text{tg}\alpha}=2[/tex]

więc wartości sinusa i cosinusa wylicza się identycznie jak w podpunkcie a.

Zatem przejdźmy od razu do policzenia wartości podanego wyrażenia.

- przypadek 1 (sin i cos są dodatnie):

[tex]\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha}=\frac{\frac{\sqrt5}{5}+\frac{2\sqrt5}{5}}{\frac{1}{2}+2}=\frac{\frac{3\sqrt5}{5}}{2\frac{1}{2}}=\frac{3\sqrt5}{5}*\frac{2}{5}=\frac{6\sqrt5}{25}[/tex]

- przypadek 1 (sin i cos są ujemne):

[tex]\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\text{tg}\alpha+\text{ctg}\alpha}=\frac{-\frac{\sqrt5}{5}-\frac{2\sqrt5}{5}}{\frac{1}{2}+2}=\frac{-\frac{3\sqrt5}{5}}{2\frac{1}{2}}=-\frac{3\sqrt5}{5}*\frac{2}{5}=-\frac{6\sqrt5}{25}[/tex]

Zadanie 2.

[tex]\cos\alpha=\frac{7}{25}\qquad \text{tg}\alpha=3\frac{3}{7}[/tex]

Policzmy, jaką wartość może przyjmować sinus alfa.

[tex]\text{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\\\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=3\frac{3}{7}\\\frac{\sin\alpha}{\frac{7}{25}}=\frac{24}{7}\ |*\frac{7}{25}\\\sin\alpha=\frac{24}{25}[/tex]

Sprawdźmy teraz, czy dla danego cosinusa i wyliczonego sinusa zachodzi jedynka trygonometryczna.

[tex]\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\\(\frac{24}{25})^2+(\frac{7}{25})^2=1\\\frac{576}{625}+\frac{49}{625}=1\\\frac{625}{625}=1\\1=1[/tex]

Zachodzi jedynka trygonometryczna, więc istnieje kąt alfa o takich własnościach.