Question

Krawędź podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 20 cm, a cosinus kąta między 2 krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy jest równy [tex]\frac{2}{3}[/tex]. Oblicz promień kuli wpisanej w ten ostrosłup.

Answer 1

Odpowiedź:

a = 20 cm

cos α = [tex]\frac{2}{3}[/tex]

d = a*√2 = 20√2 cm

x = 0,5 d = 10√2 cm

cos α = [tex]\frac{x}{b} = \frac{10\sqrt{2} }{b} = \frac{2}{3}[/tex]

2 b = 10√2*3 / : 2

b = 15√2

b = 15√2 cm  - dł. krawędzi bocznej ostrosłupa

-------------------------

[tex]h_b[/tex]  - wysokość ściany bocznej

10² + [tex]h_b^2 = b^2[/tex]

[tex]h_b^2 = ( 15\sqrt{2} )^2 - 10^2 = 225*2 - 100 = 450 - 100 = 350 = 25*14\\h_b = \sqrt{25*14} = 5\sqrt{14} \\h_b = 5\sqrt{14} cm[/tex]

-----------------------

Mamy Δ równoramienny o bokach :  20 cm, 5[tex]\sqrt{14}[/tex] cm ,  5[tex]\sqrt{14}[/tex] cm

Szukamy   promienia r   okręgu wpisanego w ten Δ .

Obliczamy pole P tego Δ

h² + 10² = ( 5[tex]\sqrt{14}[/tex] )²

h² = 350 - 100 = 250 = 25*10

h = 5[tex]\sqrt{10}[/tex]

więc  P  = 0,5*20*5[tex]\sqrt{10} =[/tex] 50[tex]\sqrt{10}[/tex]

         p  = ( 20 + 2*5[tex]\sqrt{14}[/tex] ) : 2  = 10 + 5[tex]\sqrt{14}[/tex]

Korzystamy z wzoru :   P =  p*r

więc  

r = P  : p  =  [tex]\frac{50\sqrt{10} }{5\sqrt{14} +10} *\frac{5\sqrt{14} - 10}{5\sqrt{14}- 10 } = \frac{250\sqrt{140}- 500\sqrt{10} }{350 -100} = \sqrt{140} - 2\sqrt{10}[/tex]

r = (  [tex]\sqrt{140} - 2\sqrt{10} )[/tex] cm  ≈  5,5 cm

================================

Szczegółowe wyjaśnienie: