Question

W pewnej firmie pracuje 25 osób. Z tej grupy wybieramy losowo dwie osoby. Prawdopodobieństwo, że wylosowane zostaną dwie kobiety, jest równe [tex]\frac{1}{20}[/tex]. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch mężczyzn.

Answer 1

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch mężczyzn wynosi 0,57.

Rachunek prawdopodobieństwa.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa:

[tex]P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}[/tex]

[tex]A[/tex] - zbiór zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu [tex]A[/tex]

[tex]\Omega[/tex] - zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych

[tex]|A|,\ |\Omega|[/tex] - moc zbioru (liczba elementów zbioru)

ROZWIĄZANIE:

[tex]k[/tex] - liczba kobiet

Z danych zadania otrzymujemy równanie:

[tex]\dfrac{k}{25}\cdot\dfrac{k-1}{25-1}=\dfrac{1}{20}\\\\\dfrac{k(k-1)}{25\cdot24}=\dfrac{1}{20}[/tex]

Mnożymy na krzyż:

[tex]20k(k-1)=24\cdot25\qquad|:20\\\\k(k-1)=6\cdot5\\\\k^2-k-30=0\\\\k^2-6k+5k-30=0\\\\k(k-6)+5(k-6)=0\\\\(k-6)(k+5)=0\iff k-6=0\ \vee\ k+5=0\\\\k=6\ \vee\ k=-5 < 0[/tex]

Otrzymujemy, że w tej firmie pracuje 6 kobiet.

Obliczamy ilość mężczyzn:

[tex]25-6=19[/tex]

Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania dwóch mężczyzn:

[tex]P(M)=\dfrac{19}{25}\cdot\dfrac{19-1}{25-1}=\dfrac{19}{25}\cdot\dfrac{18}{24}=\dfrac{19}{25}\cdot\dfrac{3}{4}=\dfrac{57}{100}=0,57[/tex]