Question

Załóżmy, że ciąg [tex]a_{n}[/tex] jest malejącym ciągiem arytmetycznym.
a) Wiedząc, że [tex]a_{3} + a_{5}=24[/tex] oraz [tex]a_{3}*a_{5}=135[/tex], oblicz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.
b) Oblicz różnicę między sumą dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych i sumą wyrazów tego ciągu od dziesiątego do dwudziestego włącznie.

Answer 1

[tex]a_{n}\ < =\ malejacy\ ciag\ arytmetyczny\ (r < 0)\\\\a)\\\left \{ {{a_{3}+a_{5}=24} \atop {a_{3}*a_{5}=135}} \right. \\\left \{ {{a_{1}+2r+a_{1}+4r=24} \atop {(a_{1}+2r)*(a_{1}+4r)=135}} \right. \\\left \{ {{2a_{1}+6r=24} \atop {(a_{1}+2r)*(a_{1}+4r)=135}} \right. \\\left \{ {{a_{1}=12-3r} \atop {(a_{1}+2r)*(a_{1}+4r)=135}} \right. \\\left \{ {{a_{1}=12-3r} \atop {(12-3r+2r)*(12-3r+4r)=135}} \right. \\\left \{ {{a_{1}=12-3r} \atop {(12-r)*(12+r)=135}} \right. \\[/tex]

[tex]\left \{ {{a_{1}=12-3r} \atop {144-r^{2}=135}} \right. \\\left \{ {{a_{1}=12-3r} \atop {r^{2}=9}} \right. \\\left \{ {{a_{1}=12-3r} \atop {r=3 > 0\ lub\ r=-3 < 0} \right. \\\left \{ {{a_{1}=12-3r} \atop {r=-3}} \right.\\\left \{ {{a_{1}=21} \atop {r=-3}} \right.[/tex]

[tex]a_{n}=21-3(n-1)=21-3n+3=24-3n[/tex]

[tex]b)\\a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{39}-(a_{10}+a_{11}+a_{12}+...+a_{20})=S_{1}-S_{2}=\ ?\\\\S_{2}=a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{39}\ =a_{1}+a_{1}+2r+a_{1}+4r+...+a_{1}+38r=b_{1}+b_{2}+b_{3}+...+b_{20}=S_{20_{b_{n}}}\\\\b_{1}=a_{1}=21\\r_{b_{n}}=2r=-6\\b_{n}=21-6(n-1)=21-6n+6=27-6n\\S_{1}=S_{20}=\frac{21-93}{2}*20= (-36)*20=-720[/tex]

[tex]S_{2}=a_{10}+a_{11}+a_{12}+...+a_{20}=S_{20_{a_{n}}}-S_{9_{a_{n}}}=\frac{21-36}{2} *20-\frac{21-3}{2} *9=\frac{-15}{2} *20-\frac{-18}{2}*9 =-150+81=-69[/tex]

[tex]a_{1}+a_{3}+a_{5}+...+a_{39}-(a_{10}+a_{11}+a_{12}+...+a_{20})=S_{1}-S_{2}=-720-(-69)=-720+69=-651[/tex]