Question

Luas daerah yang dibatasi grafik y = (x-2)²+4 dan garis y = px+2p adalah [tex]\frac{20\sqrt{5} }{3}[/tex] maka nilai dari 2p+1 adalah ...
(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

Answer 1

Nilai dari 2p + 1 adalah 5.(opsi C) PembahasanLuas Daerah Antara Garis Lurus dan ParabolaDiberikan dua buah fungsi:y = (x – 2)² + 4y = px + 2pPersamaan garis lurus tersebut dapat diubah bentuk menjadi:y = p(x + 2) = p(x – 2 + 4)⇒ y = p(x – 2) + 4pAgar memiliki daerah tertutup di antara kedua grafik fungsi:(x – 2)² + 4 = p(x – 2) + 4p⇒ (x – 2)² – p(x – 2) + 4 – 4p = 0Misalkan m = x – 2, maka:⇒ m² – pm + 4 – 4p = 0    ....(i)     [ a = 1,  b = –p,  c = 4 – 4p ]Nilai diskriminannya:[tex]\begin{aligned}D&=b^2-4ac\\&=(-p)^2-4\!\cdot\!1\!\cdot\!(4-4p)\\&=p^2+16p-16\end{aligned}[/tex]Luas daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi kuadrat (parabola) dan garis lurus, dapat dihitung dengan:[tex]\large\text{$\begin{aligned}\boxed{\ L=\frac{D\sqrt{D}}{6a^2}\ }\end{aligned}$}[/tex]Agar berpotongan di dua titik berbeda, D > 0, dan ini juga berarti bahwa akar-akar persamaan (i) adalah real. Oleh karena itu, kita tidak perlu menghitung p secara langsung. Cukup dengan informasi luas yang diberikan dan variabel D saja, kita dapat mencoba sesuaikan ruas kanan dan kiri persamaan luas daerah tersebut.Dengan [tex]L = \dfrac{20\sqrt{5}}{3}[/tex], dapat diperoleh:[tex]\begin{aligned}\frac{20\sqrt{5}}{3}&=\frac{D\sqrt{D}}{6\cdot1^2}=\frac{D\sqrt{D}}{6}\\\frac{20\sqrt{5}}{\cancel{3}}&=\frac{\frac{1}{2}D\sqrt{D}}{\cancel{3}}\\20\sqrt{\frac{1}{4}\cdot20}&=D\sqrt{\frac{1}{4}D}\\\\\therefore\ \ D&=\bf20\end{aligned}[/tex]Sehingga, sekarang kita dapat menentukan nilai p.[tex]\begin{aligned}&p^2+16p-16=20\\&\Rightarrow p^2+16p-36=0\\&\Rightarrow (p-2)(p+18)=0\\&\Rightarrow p={\bf2}\ \lor\ p=\bf-18\end{aligned}[/tex]Kemudian, pertimbangkan arah dan posisi grafik parabola, serta posisi garis lurus.y = (x – 2)² + 4 = x² – 4x + 8⇒ parabola membuka ke atas, karena a > 0⇒ memiliki nilai diskriminan: D < 0⇒ definit positif, karena a > 0 dan D < 0Sehingga, garis y = px + 2p harus memiliki nilai p > 0, karena:titik potong dengan sumbu-x ada di (–2, 0),garis harus memiliki gradien positif agar berpotongan dengan parabola yang definit positif.Oleh karena itu, p = 2.Dan karenanya, 2p + 1 = 5. KESIMPULAN∴  Nilai dari 2p + 1 adalah 5. _____________________APPENDIXDarimana rumus cepat L = (D√D)/(6a²) tersebut diperoleh? Kasus pertama: daerah antara garis lurus dan fungsi kuadrat.Jika garis g(x) memotong parabola f(x) di dua titik, maka:[tex]f(x)=g(x)\ \Rightarrow\ f(x)-g(x)=0[/tex]Dengan [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex] dan [tex]g(x)=mx+n[/tex]:[tex]\begin{aligned}&ax^2+bx+c-mx-n=0\\&{\Rightarrow\ }ax^2+(b-m)x+c-n=0\\&\quad[A=a\,,\ B=b-m\,,\ C=c-n]\\&{\Rightarrow\ }Ax^2+Bx+C=0\end{aligned}[/tex]Dengan asumsi nilai diskriminan (D) > 0, bentuk akhirnya adalah persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar [tex]x_1[/tex] dan [tex]x_2[/tex] yang berbeda.Kasus kedua: daerah antara dua fungsi kuadrat.[tex]\begin{aligned}&f(x)=a_1x^2+b_1x+c_1\\&g(x)=a_2x^2+b_2x+c_2\\&\Rightarrow f(x)=g(x)\\&\Rightarrow f(x)-g(x)=0\\&\Rightarrow (a_1-a_2)x^2+(b_1-b_2)x+c_1-c_2=0\\&\quad[A=a_1-a_2\,,\ B=b_1-b_2\,,\ C=c_1-c_2]\\&\Rightarrow Ax^2+Bx+C=0\end{aligned}[/tex]Dengan asumsi nilai diskriminan (D) > 0, bentuk akhirnya sama dengan kasus pertama.Untuk kedua kasus di atas, operasi-operasi pada akar-akarnya antara lain adalah:[tex]\begin{aligned}\bullet\ &x_1+x_2=\frac{-B}{A}\\\bullet\ &x_1x_2=\frac{C}{A}\\\bullet\ &x_2-x_1=\frac{\sqrt{D}}{A}\\\bullet\ &{x_2}^2-{x_1}^2=(x_2-x_1)(x_2+x_1)=\frac{-B\sqrt{D}}{A^2}\\\bullet\ &{x_2}^3-{x_1}^3=(x_2-x_1)^3+3{x_2}^2x_1-3x_2{x_1}^2\\&=(x_2-x_1)^3+3x_1x_2(x_2-x_1)\\&=\left(\frac{\sqrt{D}}{A}\right)^3+\frac{3C\sqrt{D}}{A^2}\\&=\frac{D\sqrt{D}}{A^3}+\frac{3C\sqrt{D}}{A^2}\end{aligned}[/tex]LUAS DAERAH:[tex]\begin{aligned}L&=\left|\int_{x_1}^{x_2}\left(f(x)-g(x)\right)dx\right|\\&=\left|\int_{x_1}^{x_2}\left(Ax^2+Bx+C\right)dx\right|\\&=\left|\left[\frac{A}{3}x^3+\frac{B}{2}x^2+Cx\right]_{x_1}^{x_2}\right|\\&=\left|\ \begin{aligned}&\frac{A}{3}\left({x_2}^3-{x_1}^3\right)\\&+\frac{B}{2}\left({x_2}^2-{x_1}^2\right)\\&+C(x_2-x_1)\\\end{aligned}\ \right|\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}L&=\left|\ \begin{aligned}&\frac{A}{3}\left(\frac{D\sqrt{D}}{A^3}+\frac{3C\sqrt{D}}{A^2}\right)\\&+\frac{B}{2}\left(\frac{-B\sqrt{D}}{A^2}\right)\\&+C\left(\frac{\sqrt{D}}{A}\right)\end{aligned}\ \right|\\&=\left|\sqrt{D}\left(\frac{AD}{3A^3}+\frac{3AC}{3A^2}-\frac{B^2}{2A^2}+\frac{C}{A}\right)\right|\\&=\left|\sqrt{D}\left(\frac{D}{3A^2}+\frac{3AC}{3A^2}-\frac{B^2}{2A^2}+\frac{AC}{A^2}\right)\right|\end{aligned}[/tex][tex]\begin{aligned}L&=\left|\sqrt{D}\left(\frac{2D+6AC-3B^2+6AC}{6A^2}\right)\right|\\&=\left|\sqrt{D}\left(\frac{2D-3B^2+12AC}{6A^2}\right)\right|\\&=\left|\sqrt{D}\left(\frac{2D-3\left(B^2-4AC\right)}{6A^2}\right)\right|\\&=\left|\sqrt{D}\left(\frac{2D-3D}{6A^2}\right)\right|\\&=\left|\frac{-D\sqrt{D}}{6A^2}\right|\\\bf L&=\boxed{\ \bf\frac{D\sqrt{D}}{6A^2}\ }\end{aligned}[/tex]