Question

Dla jakich wartości parametru k równanie [tex]cos(x)=\frac{k^2+3k+1}{k-1}[/tex] ma rozwiązanie?

Answer 1

[tex]-1\leq \cos x\leq 1[/tex]

Zatem

[tex]-1\leq\dfrac{k^2+3k+1}{k-1}\leq 1\qquad (k\not =1)[/tex]

[tex]-(k-1)^2\leq (k^2+3k+1)(k-1)\leq (k-1)^2\\-(k^2-2k+1)\leq k^3-k^2+3k^2-3k+k-1\leq k^2-2k+1\\-k^2+2k-1\leq k^3+2k^2-2k-1\leq k^2-2k+1[/tex]

[tex]-k^2+2k-1\leq k^3+2k^2-2k-1\\k^3+3k^2-4k\geq0\\k(k^2+3k-4)\geq0\\k(k^2-k+4k-4)\geq0\\k(k(k-1)+4(k-1)\geq0\\k(k+4)(k-1)\geq0\\k\in\langle-4,0\rangle\cup\langle1,\infty)[/tex]

[tex]k^3+2k^2-2k-1\leq k^2-2k+1\\k^3+k^2-2\leq0\\k^3-k^2+2k^2-2k+2k-2\leq0\\k^2(k-1)+2k(k-1)+2(k-1)\leq0\\(k-1)(k^2+2k+2)\leq0[/tex]

[tex]\Delta=2^2-4\cdot1\cdot2=4-8=-4[/tex] zatem drugi nawias jest zawsze nieujemny. A więc musi zachodzić [tex]k-1\leq0 \Rightarrow k\leq 1[/tex].

[tex]k\in\langle-4,0\rangle\cup\langle1,\infty) \wedge k\leq 1 \wedge k\not=1\\\boxed{k\in\langle-4,0\rangle}[/tex]