Question

Średnia arytmetyczna liczb dodatnich a i b, gdzie a < b, jest równa [tex]\overline{x}[/tex]. Średnia ważona liczb a i b z wagami odpowiednio w i v, gdzie w < v, wynosi [tex]\overline{s}[/tex]. Która z tych średnich jest większa?

Answer 1

Verified answer

Zacznijmy od tego czym jest średnia arytmetyczna, a czym średnia ważona.

       

          [ W związku z tym, że w treści zadania mamy do czynienia

         z dwuelementowym zbiorem danych, to poniżej opowiem

          o potrzebnych średnich na przykładzie właśnie zbioru

            dwuelementowego, oczywiście średnie są ogólnie

                zdefiniowane dla dowolnie dużych zbiorów. ]

Niech zbiór danych: [tex]\mathrm{a_1, \ a_2}[/tex] ma przypisane nieujemne wagi, odpowiednio [tex]\mathrm{w_1, \ w_2}[/tex]  wówczas:

• średnią arytmetyczną nazywamy liczbę: [tex]\mathrm{\overline{x}=\frac{a_1+a_2}{2} }[/tex],
• średnią ważoną nazwiemy liczbę: [tex]\mathrm{\overline{s}=\frac{a_1w_1+a_2w_2}{w_1+w_2} }[/tex]

W przypadku średniej ważonej w mianowniku ułamka mamy [tex]\mathrm{w_1+w_2}[/tex], a nie ma zdefiniowanego dzielenia przez zero, ponadto wiemy, że wagi są nieujemne, co z tego wynika? Wynika, że co najmniej jedna waga jest różna od zera.

ROZWIĄZANIE ZADANIA

Wiedząc czym jest średnia arytmetyczna, a czym średnia ważona, z treści zadania od razu możemy zapisać, że:

• [tex]\mathrm{\overline{x}=\frac{a+b}{2}, }[/tex]  gdzie [tex]\mathrm{a < b}[/tex]
• [tex]\mathrm{\overline{s}=\frac{ax+bv}{x+v}, }[/tex]  gdzie [tex]\mathrm{w < v}[/tex]

Teraz postawmy sobie pewną hipotezę:

                               [tex]\mathrm{\overline{x} < \overline{s}}[/tex]

Teraz spróbujmy ją udowodnić:

Przekształcamy powyższą nierówność równoważnie:

                        [tex]\mathrm{\frac{a+b}{2} < \frac{aw+bv}{w+v} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | \cdot 2(w+v)}[/tex]

W tym miejscu wolno mi wykonać mnożenie obustronne przez [tex]\mathrm{2(w+v)}[/tex], ponieważ wiemy, że wagi są nieujemne, więc suma ich też będzie nieujemna, a ponadto co najmniej jedna z nich nie jest zerem, więc mnożenie przez zero również wykluczamy. Mnożymy obustronnie przez liczbę dodatnią i nie zmieniamy znaku nierówności.

[tex]\mathrm{2(w+v) \cdot \frac{a+b}{2} < 2(w+v) \cdot \frac{aw+bv}{w+v} } \\ \\ \mathrm{(a+b)(w+v) < 2(aw+bv) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |-2(aw+by)} \\ \\ \mathrm{(a+b)(w+v)-2(aw+bv) < 0} \\ \\ \mathrm{aw+av+bw+bv-2aw-2bv < 0} \\ \\ \mathrm{-aw-bv+av+bw < 0} \\ \\ \mathrm{bw-aw+av-bv < 0} \\ \\ \mathrm{w(b-a)+v(a-b) < 0} \\ \\ \mathrm{-w(a-b)+v(a-b) < 0} \\ \\ \mathrm{(a-b)(v-w) < 0 \ \ \ (*)}[/tex]

• Wiemy, że [tex]\mathrm{a < b,}[/tex] a z tego wynika, że [tex]\mathrm{a-b < 0}[/tex]
• Wiemy, że [tex]\mathrm{w < v}[/tex], a z tego wynika, że [tex]\mathrm{v-w > 0}[/tex]

Zatem nierówność [tex]\mathrm{(*)}[/tex] jest mnożeniem liczby dodatniej i ujemnej,

a więc wynik będzie ujemny, czyli nierówność [tex]\mathrm{(*)}[/tex] jest prawdziwa.

Przekształcenia były równoważne zatem postawiliśmy hipotezę,

która jest prawdziwa i tym samym już wiemy, że dla podanych

danych większą wartością jest średnia ważona.