Question

Podstawą ostrosłupa prostego jest trójkąt równoramienny, którego jeden z kątów jest równy 150°, a dwa jego boki mają długość [tex]9\sqrt{2-\sqrt{3} }[/tex]. Krawędź boczna ostrosłupa ma długość 15. Wyznacz:

a) wysokość tego ostrosłupa,

b)cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.

Miło gdyby pojawił się rysunek poglądowy.

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]h=12[/tex]

[tex]cos\alpha=\frac{3}{5}[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

[tex]a=9\sqrt{2-\sqrt{3} }[/tex] - długość ramienia trójkąta będącego w podstawie

b - długość trzeciego boku trójkąta

k=15 - długość krawędzi bocznej

h - wysokość ostrosłupa

R - promień okręgu opisanego na podstawie

Obliczam pole podstawy

[tex]P_p=\frac{1}{2}a^2\cdot sin\alpha[/tex]

[tex]P_p=\frac{1}{2}\cdot(9\sqrt{2-\sqrt{3} })^2\cdot sin150^o[/tex]

[tex]P_p=\frac{1}{2}\cdot81(2-\sqrt{3})\cdot sin(180^o-30^o)[/tex]

[tex]P_p=\frac{1}{2}\cdot81(2-\sqrt{3})\cdot sin30^o[/tex]

[tex]P_p=\frac{1}{2}\cdot81(2-\sqrt{3})\cdot \frac{1}{2}[/tex]

[tex]P_p=\frac{81(2-\sqrt{3})}{4}[/tex]

Obliczam b

(z twierdzenia cosinusów)

[tex]b^2=a^2+a^2-2a^2cos150^o[/tex]

[tex]b^2=2a^2-2a^2cos150^o[/tex]

[tex]b^2=2(9\sqrt{2-\sqrt{3} })^2-2(9\sqrt{2-\sqrt{3} })^2cos(180^o-30^o)[/tex]

[tex]b^2=2(81(2-\sqrt{3})+2(81(2-\sqrt{3} )cos30^o[/tex]

[tex]b^2=2(162-81\sqrt{3})+2(162-81\sqrt{3} )\frac{\sqrt3}{2}[/tex]

[tex]b^2=324-162\sqrt{3})+(162-81\sqrt{3} )\sqrt3[/tex]

[tex]b^2=324-162\sqrt{3}+162\sqrt3-234[/tex]

[tex]b^2=81[/tex]

[tex]b=\sqrt{81}[/tex]

[tex]b=9[/tex]

Obliczam R

[tex]R=\frac{a^2b}{4 P_p}[/tex]

[tex]R=\frac{(9\sqrt{2-\sqrt{3} })^2\cdot9}{4\cdot \frac{81(2-\sqrt{3})}{4}}[/tex]

[tex]R=\frac{81(2-\sqrt{3} )\cdot9}{81(2-\sqrt{3})}[/tex]

[tex]R=9[/tex]

Obliczam h

[tex]h^2+R^2=k^2[/tex]

[tex]h^2+9^2=15^2[/tex]

[tex]h^2+81=225[/tex]

[tex]h^2=225-81[/tex]

[tex]h^2=144[/tex]

[tex]h=12[/tex]

Obliczam cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy

[tex]cos\alpha=\frac{R}{k}[/tex]

[tex]cos\alpha=\frac{9}{15}[/tex]

[tex]cos\alpha=\frac{3}{5}[/tex]

(podstawą jest trójkąt rozwartokątny, więc środek okręgu jest poza trójkątem)