Question

Udowodnij, że całka niewłaściwa
[tex]\int\limits^1_0 {\frac{dx}{e^\sqrt{x} }-1 }[/tex]
jest zbieżna

Answer 1

Odpowiedź:

Możemy wykorzystać kryterium Cauchy'ego, czyli sprawdzenie, czy dla każdej ε>0 istnieje taki N, że dla każdych dwóch podprzedziałów o długości większej niż ε, ich suma całek jest mniejsza niż ε.

Zdefiniujmy funkcję f(x) = 1/(e^√x - 1). Możemy zauważyć, że funkcja ta jest malejąca na [0,1]. Oznacza to, że dla każdych dwóch punktów x1 i x2 z przedziału [0,1], gdy x1 < x2, to f(x1) > f(x2).

W takim przypadku, dla każdego podprzedziału [a,b], gdzie 0 <= a < b <= 1, mamy:

[tex]\int\limits^b_a {\frac{dx}{e^\sqrt{x} }-1 } = \int\limits^b_a {f(x)dx} \ge f(a)(b-a)[/tex]

Jeśli ustalimy ε > 0, to możemy znaleźć taki a > 0, że f(a) < ε. W takim przypadku, dla każdego podprzedziału [a,b] z długością większą niż ε, mamy:

[tex]\int\limits^b_a {\frac{dx}{e^\sqrt{x} }-1 } \ge f(a)(b-a) = \epsilon (b-a) > \epsilon \cdot \epsilon = \epsilon^2[/tex]

Co oznacza, że spełnione jest kryterium Cauchy'ego i całka niewłaściwa jest zbieżna.

Szczegółowe wyjaśnienie: