Question

Ciąg (an) o wszystkich wyrazach dodatnich jest geometryczny, a warunek a5*a8*a11*a14*a17 = [tex]\frac{1}{32}[/tex] jest spełniony. Oblicz wartość iloczynu a7*a11*a15

Answer 1

[tex]\huge\begin{array}{ccc}a_7\cdot a_{11}\cdot a_{15}=\frac{1}{8}\end{array}[/tex]

Ciąg geometryczny.

Ciąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym każdy kolejny wyraz ciągu powstaje z poprzedniego poprzez pomnożenie go przez stałą liczbę różną od zera zwaną ilorazem ciągu (q).

Wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego:

[tex]a_n=a_1\cdot q^{n-1}[/tex]

Twierdzenia:

[tex]a^n\cdot a^m=a^{n+m}\\\\\left(a^n\right)^m=a^{n\cdot m}[/tex]

ROZWIĄZANIE:

Dane:

[tex]a_5\cdot a_8\cdot a_{11}\cdot a_{14}\cdot a_{17}=\dfrac{1}{32}[/tex]

Szukane:

[tex]a_7\cdot a_{11}\cdot a_{15}=?[/tex]

Skorzystajmy ze wzoru na wyraz ogólny ciągu:

[tex]a_5=a_1\cdot q^4\\\\a_8=a_1\cdot q^7\\\\a_{11}=a_1\cdot q^{10}\\\\a_{17}=a_1\cdot q^{16}[/tex]

stąd mamy:

[tex]a_1q^4\cdot a_1q^7\cdot a_1q^{10}\cdot a_1q^{13}\cdot a_1q^{16}=\dfrac{1}{32}\\\\a_1^5\cdot q^{50}=\dfrac{1}{32}\\\\a_1^5\cdot \left(q^{10}\right)^5=\dfrac{1}{32}\\\\\left(a_1q^{10}\right)^2=\dfrac{1}{32}\Rightarrow a_1q^{10}=\sqrt[5]{\dfrac{1}{32}}\\\\\boxed{a_1q^{10}=\dfrac{1}{2}}[/tex]

Przekształćmy w podobny sposób szukane:

[tex]a_7=a_1\cdot q^6\\\\a_{11}=a_1\cdot q^{10}\\\\a_{15}=a_1\cdot q^{14}\\\\a_7\cdot a_{11}\cdot a_{15}=a_1q^6\cdot a_1q^{10}\cdot a_1q^{14}=a_1^3\cdot q^{30}=a_1^3\left(q^{10}\right)^3=\left(a_1q^{10}\right)^3[/tex]

Podstawiamy wartość wcześniej obliczoną otrzymując:

[tex]\left(\dfrac{1}{2}\right)^3=\boxed{\dfrac{1}{8}}[/tex]