Question

Dla jakiego "'a" pole wektorowe
[tex]F(x,y,z)=[x^2+ay,y^2+x,0][/tex] jest polem potencjalnym?

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]a=1[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Pole wektorowe:

[tex]$\bold{F}(x,y,z)=[x^2+ay,y^2+x,0][/tex]

Składowe:

[tex]F_x=x^2+ay[/tex]

[tex]F_y=y^2+x[/tex]

[tex]F_z=0[/tex]

Pole będzie potencjalne, jeżeli [tex]\bold{F}= \nabla \varphi[/tex], a ma to miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy jest bezwirowe [tex]\nabla \times \bold{F}=\bold{0}[/tex], co zapisuje się jako:

[tex]\bold{F}=\nabla \varphi \iff \nabla \times \bold{F}=\bold{0}[/tex]

Trzeba zatem sprawdzić, czy [tex]\nabla \times \bold{F}[/tex] jest zerowa. Dla przypadku trójwymiarowego:

[tex]$\nabla \times \bold{F}=\Big(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z}\Big)\bold{i}+\Big(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\Big)\bold{j}+\Big(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\Big)\bold{k}=\bold{0}[/tex]

Otrzymuje się:

[tex]0\bold{i}+0\bold{j}+(1-a)\bold{k}=\bold{0}[/tex]

Stąd:

[tex]1-a =0 \iff a=1[/tex]