Dany jest ciąg [tex]a_n=\frac{3n+7}{n+2}[/tex]
a) Zbadaj jego monotoniczność
b) Czy liczba [tex]\frac{7}{2}[/tex] jest ograniczeniem dolnym tego ciągu? Odpowiedź uzasadnij.
a) Zbadaj jego monotoniczność
b) Czy liczba [tex]\frac{7}{2}[/tex] jest ograniczeniem dolnym tego ciągu? Odpowiedź uzasadnij.
Odpowiedź:
a) [tex]a_{n+1} - a_n = \frac{3*(n +1) + 7}{n + 1 + 2} - \frac{3 n + 7}{ n + 2}[/tex] [tex]= \frac{3 n + 10}{n + 3} - \frac{3n + 7}{n + 2} =[/tex]
=[tex]\frac{(3 n + 10)*(n +2) - ( 3 n + 7)*(n +3)}{( n +3)*( n +2)} =[/tex] [tex]\frac{3 n^2 + 16 n + 20- ( 3 n^2 + 16 n + 21)}{(n +2)*(n +3)} =[/tex] [tex]\frac{ - 1}{( n +2)*( n + 3)} < 0[/tex]
bo ( n + 2)*( n + 3) > 0 bo n ∈ N
Ciąg jest malejący.
====================
b ) Nie
[tex]a_1 = 3 \frac{1}{3}[/tex] - największy wyraz ciągu
[tex]\lim_{n \to \infty} a_n = 3[/tex]
Szczegółowe wyjaśnienie:
Mamy: 3[tex]\frac{1}{3}[/tex] > [tex]3 \frac{1}{4}[/tex] > [tex]3 \frac{1}{5}[/tex] > ...