Question

Uzasadnij, że dla każdej wartości parametru k funkcja liniowa określona wzorem f(x) = [tex](5k -k^{2})x-8x+ (k+1)^{2}[/tex] jest malejąca.

Answer 1

Należy udowodnić, że pochodna po x ZAWSZE jest ujemna:

więc liczymy pochodną:

[tex]\frac{d}{dx}\left(\left(5k-k^2\right)x-8x+\left(k+1\right)^2\right)\\=\frac{d}{dx}\left(\left(5k-k^2\right)x\right)-\frac{d}{dx}\left(8x\right)+\frac{d}{dx}\left(\left(k+1\right)^2\right)\\=(5k-k^2)-(8)+(0)\\=5k-k^2-8+0\\=-k^2+5k-8[/tex]

Wyszła nam funkcja kwadratowa. Współczynnik a jest ujemny = -1

należy wyliczyć wyróznik kwadratowy:

[tex]\Delta=5^2-4\left(-1\right)\left(-8\right)=-7[/tex]

[tex]\Delta < 0[/tex]

Zatem parabola jest 'smutna' i poniżej osi X. Zawsze jest ujemna (patrz rysunek)

Co należało wykazać.