Question

Wyznacz pole powierzchni płata S
[tex]z=\sqrt[]{4-x^{2} -y^{2} } , z\geq 1[/tex]
(Jeżeli jest taka możliwość to bardzo proszę aby ktoś to bardzo szczegółowo rozpisał oraz wytłumaczył z kąd bierze się jaka liczba, z góry dziękuję )

Answer 1

Odpowiedź:

[tex]|S|=4\pi[/tex]

Szczegółowe wyjaśnienie:

Rozważany płat jest częścią sfery i wykresem funkcji:

[tex]z=f(x,y)=\sqrt{4-x^2-y^2}[/tex]

Będziemy korzystać ze wzoru:

[tex]$|S|=\iint_{D}\sqrt{1+\Big(\frac{\partial f}{\partial x}\Big)^2+\Big(\frac{\partial f}{\partial y}\Big)^2} \ \text{d}x\text{d}y[/tex]

Obszar [tex]D[/tex] w tym przypadku jest rzutem płata na płaszczyznę [tex]OXY[/tex], a zatem kołem o środku w początku układu współrzędnych [tex](0,0)[/tex] oraz promieniu równym:

[tex]z=\sqrt{4-x^2-y^2}=\sqrt{4-(x^2+y^2)} \iff x^2+y^2=4-z^2[/tex]

[tex]\therefore\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{4-z^2}[/tex]

co po podstawieniu [tex]z=1[/tex] daje:

[tex]R=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{4-1^2}=\sqrt{3}[/tex]

Zatem:

[tex]D=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2+y^2 \leq3\}[/tex]

Pochodne cząstkowe:

[tex]$\frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2-y^2}}, \ \ \frac{\partial f}{\partial y}=-\frac{y}{\sqrt{4-x^2-y^2}}[/tex]

Po podstawieniu do wzoru otrzymuje się następującą całkę:

[tex]$|S|=\iint_{D}\sqrt{1+\Big(-\frac{x}{\sqrt{4-x^2-y^2}} \Big)^2+\Big(-\frac{y}{\sqrt{4-x^2-y^2}}\Big)^2} \ \text{d}x\text{d}y=[/tex]

[tex]$=\iint_{D} \sqrt{\frac{4}{4-x^2-y^2}} \ \text{d}x\text{d}y=\iint_{D} \sqrt{\frac{4}{4-(x^2+y^2)}} \ \text{d}x\text{d}y[/tex]

Z uwagi na obszar kołowy warto wprowadzić współrzędne biegunowe:

[tex]\left\{\begin{array}{ccc}x=r\cos \varphi\\y=r\sin \varphi\\J(r, \varphi)=r\end{array}\right[/tex]

gdzie:

[tex]$\left \{ {{0 \leq r \leq \sqrt{3}} \atop {0 \leq \varphi \leq 2\pi}} \right.[/tex]

W wyniku otrzymuje się całkę:

[tex]$|S|=\int\limits^{2\pi}_{0}\int\limits^{\sqrt{3}}_{0} \sqrt{\frac{4}{4-r^2}} \cdot r\ \text{d}r \text{d}\varphi=\int\limits^{2\pi}_{0} \Bigg(\int\limits^{\sqrt{3}}_{0} \sqrt{\frac{4}{4-r^2}} \cdot r \ \text{d}r\Bigg) \ \text{d}\varphi[/tex]

Najpierw obliczamy całkę wewnętrzną (na początek nieoznaczoną):

[tex]$\int \sqrt{\frac{4}{4-r^2}} \cdot r \ \text{d}r=\left|\begin{array}{ccc}u=4-r^2\\\text{d}u=-2r \ \text{d}r\\-\frac{\text{d}u}{2}=r \ \text{d}r\end{array}\right|=-\frac12\int \sqrt{\frac{4}{u}} \ \text{d}u=-\int u^{-\frac{1}{2}} \ \text{d}u=[/tex]

[tex]$=-\frac{u^{\frac12}}{\frac12}+C=-2\sqrt{u}+C=-2\sqrt{4-r^2}+C[/tex]

Całka oznaczona:

[tex]$\int\limits^{\sqrt{3}}_{0} \sqrt{\frac{4}{4-r^2}} \cdot r \ \text{d}r=-2\sqrt{4-r^2}\Bigg|^{\sqrt{3}}_{0}=-2-(-4)=2[/tex]

Tak więc:

[tex]$|S|=\int\limits^{2\pi}_{0} 2 \ \text{d}\varphi=2\int\limits^{2\pi}_{0} \ \text{d}\varphi=2 \cdot \varphi\Bigg|^{2\pi}_{0}=2 \cdot 2\pi=4\pi[/tex]