Quiz karena saya bosan [tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}-2x^{2}-23x+60}{x^{2}-9}[/tex] Jawabnya j.... Question from @Dod1T

April 2023 1 15 Report

Quiz karena saya bosan
[tex]\lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}-2x^{2}-23x+60}{x^{2}-9}[/tex]

Jawabnya jangan asal okeh thanks

Tarifar

Hasil dari [tex]\tt \lim_{x \to \infty} (\frac{x^3-2x^2-23x+60}{x^2-9})[/tex] adalah [tex]\tt \infty[/tex]

Pembahasan

Limit Fungsi Aljabar adalah perhitungan menggunakan metode fungsional saat mendekati nilai tertentu. Dengan mensubstitusikan nilai x pada pembilang dan penyebutnya ke dalam limit perhitungan, diperoleh hasil yaitu [tex]\tt \frac{0}{0}[/tex], menunjukkan bahwa nilai yang tidak valid didapatkan.

Untuk menghitung limit suatu fungsi dengan nilai bentuk tak tentu, yaitu [tex]\tt \frac{0}{0}[/tex] dapat menggunakan aturan L'Hospital.

Bentuk tak tentu terdiri atas : [tex]\tt \frac{\infty}{\infty}, 1^\infty, \frac{0}{0}, \infty - \infty[/tex].

Rumus limit fungsi :

[tex]\tt \to \lim_{x \to a} (\frac{f(x)}{g(x)}) =\frac{ \lim_{x \to a} f(x)}{ \lim_{x \to a} g(x)}, jika ~ \lim_{x \to a} g(x)\neq 0\\\\\to \lim_{x \to a} (f(x)\pm g(x))= \lim_{x \to a} f(x)\pm \lim_{x \to a} g(x)\\\\\to \lim_{n \to a} k.f(x)=k \lim_{x \to a} f(x), jika~k = konstanta\\\\\to \lim_{x \to a} [f(x)]^n=[\lim_{x \to a} f(x)]^n[/tex]

Diketahui :

[tex]\tt \lim_{x \to \infty} (\frac{x^3-2x^2-23x+60}{x^2-9})[/tex]

Ditanya :

Hasil limit...?

Jawaban :

Cara 1 :

[tex]\tt \lim_{x \to \infty} (\frac{x^3-2x^2-23x+60}{x^2-9})\\\\ = \lim_{x \to \infty} (\frac{x^3-2x^2-23x+60}{x^2-9})\\ \\= \lim_{x \to \infty} (\frac{\frac{x^2}{x^2}-2x^2+\frac{x^2}{x^2}(-23)x+\frac{x^2}{x^2}(60)}{x^2+\frac{x^2}{x^2}(-9)})\\\\= \lim_{x \to \infty}(\frac{x^2(\frac{x^3}{x^2})-2x^2-x^2(\frac{23x}{x^2})+x^2(\frac{60}{x^2})}{x^2(1-\frac{9}{x^2})} )\\\\= \lim_{x \to \infty} (\frac{x-2-\frac{23}{x} +\frac{60}{x^2}}{1-\frac{9}{x^2}})[/tex]

Mencari hasil limit dengan cara memisahkan penyebut dan pembilang :

Menghitung limit pembilang :

[tex]\tt \lim_{x \to \infty} (x-2-\frac{23}{x} +\frac{60}{x^2})\\ \\=(\infty-2-\frac{23}{\infty}+\frac{60}{(\infty)^2})\\ \\ = (\infty-0+0)\\\\= \infty[/tex]

Menghitung limit penyebut :

[tex]\tt \lim_{x \to \infty} (1-\frac{9}{x^2})\\ \\=1-\frac{9}{(\infty)^2}\\ \\= 1[/tex]

Cara 2 :

Mencari hasil limit dengan cara memisahkan penyebut dan pembilang :

Menghitung limit pembilang =

[tex]\tt \lim_{x \to \infty} (x^3-2x^2-23x+60)\\\\= (\infty)^3-2(\infty)^2-23(\infty)+60\\\\= \infty-\infty-\infty+60\\\\= \infty[/tex]

Menghitung limit penyebut :

[tex]\tt \lim_{x \to \infty} (x^2-9)\\\\= (\infty)^2-9\\\\= \infty[/tex]

Sehingga [tex]\tt \lim_{x \to \infty} (\frac{x^3-2x^2-23x+60}{x^2-9})[/tex] = [tex]\tt \frac{+\infty}{+\infty}[/tex]

Menggunakan aturan L'Hospital:

[tex]\tt \lim_{x \to \infty} (\frac{x^3-2x^2-23x+60}{x^2-9})\\\\= \lim_{x \to \infty} (\frac{\frac{d}{dx}(x^3-2x^2-23x+60)}{\frac{d}{dx}(x^2-9)})\\ \\= \lim_{x \to \infty} (\frac{3x^2-4x-23}{2x})\\ \\= \lim_{x \to \infty} (\frac{\frac{d}{dx}(3x^2-4x-23)}{\frac{d}{dx}(2x)}) \\\\= \lim_{x \to \infty} (\frac{3-2x-4}{2})\\ \\ = \lim_{x \to \infty} (3x-2)\\ \\= (3(\infty)-2)\\\\= \infty[/tex]