[tex]\tt Diketahui\\f''(x)=2x+6\\f'(3) = 27\\f(2) = \frac{44}{3}\\Tentukanlah[/tex] interval turun f.... Question from @xcvi

xcvi @xcvi

May 2022 1 44 Report

[tex]\tt Diketahui\\f''(x)=2x+6\\f'(3) = 27\\f(2) = \frac{44}{3}\\Tentukanlah[/tex]
interval turun f(x)

henriyulianto

Interval di mana $f(x)$ turun adalah $\bf{-}6 < x < 0$ , atau $\bf\left(-6\,,\ 0\right)$ .

Pembahasan

Interval Naik dan Turun pada Grafik Fungsi

Diketahui:

Terdapat sebuah fungsi $f(x)$ sedemikian rupa sehingga:

$f''(x)=2x+6$
$f'(3)=27$
$f(2)=\dfrac{44}{3}$

Ditanyakan:

Interval turun $f(x)$

PENYELESAIAN

Interval turun $f(x)$ dapat ditentukan dari turunan pertama, yaitu pada saat $f'(x) < 0$ .

Kita telah memiliki turunan kedua, yaitu $f''(x)$ . Kita akan menggunakannya untuk mencari turunan pertama, yaitu $f'(x)$ .
Persamaan $f'(3)=27$ akan kita gunakan untuk menentukan berapa nilai konstanta pada hasil integral dari turunan kedua.

Berdasarkan teorema integral, $f(x)=\int{f'(x)}\,dx$ . Oleh karena itu:

$\begin{aligned}f'(x)&=\int f''(x)\,dx\\&=\int(2x+6)dx\\&=\tfrac{2}{2}x^2+6x+C\\\therefore\ f'(x)&=x^2+6x+C\end{aligned}$

Kita tentukan nilai $C$ .

$\begin{aligned}C&=f'(x)-\left(x^2+6x\right)\\&[\ x=3,\ f'(3)=27\ ]\\C&=f'(3)-\left(3^2+6\cdot3\right)\\&=27-(9+18)\\&=27-27\\\therefore\ C&=0\end{aligned}$

Oleh karena itu, turunan pertama dari f(x) adalah:

$f'(x) = x^2+6x$

$\begin{aligned}\rightsquigarrow\ &\bullet\ x < -6\ \lor\ x > 0\ \Rightarrow f'(x) > 0\\&\bullet\ {\bf{-}6 < x < 0}\ \Rightarrow f'(x) < 0\\\end{aligned}$

Jadi, interval turun $f(x)$ adalah $\bf-6 < x < 0$ .

Kita juga dapat memanfaatkan turunan kedua.

Akar-akar dari $f'(x) = 0$ adalah –6 dan 0.

$f''(-6) = -12 + 6 = -6 < 0$
Maka $x=-6$ adalah absis dari titik maksimum lokal $f(x)$ .

$f''(-6) = 0 + 6 = 6 > 0$
Maka $x=0$ adalah absis dari titik minimum lokal $f(x)$ .

Interval di mana $f(x)$ turun adalah:

$\begin{aligned}&x_{\rm max} < x < x_{\rm min}\\&\equiv \bf -6 < x < 0\end{aligned}$

Lalu apa gunanya nilai $f(2)$ ?

Jika kita akan menentukan $f(x)$ , barulah nilai $f(2)$ berguna. Untuk persoalan ini, yaitu menentukan interval turun dari $f(x)$ , kita tidak memerlukannya.